手算校核结果

EduBeam 是养成一个习惯的好地方，这是每位工程师都需要的习惯：不要相信一个你无法大致复现的数字。本页给出经典情形的闭合解公式，并列出应用对这些情形给出的结果，你可以自己建立每个模型并进行比较。

带手算核对的完整算例，请看三铰刚架和平面桁架教程。

除非另有说明，所有算例使用同一钢截面：$E = 210\,000$ MPa，$G = 81\,000$ MPa，$A = 28.5$ cm²，$I_y = 1943$ cm⁴，$h = 200$ mm，$k = 1$（IPE 200）。

$EI = 210 \times 10^9 \cdot 1.943 \times 10^{-5} = 4.080 \times 10^6\ \text{Nm}^2$

为什么数值略有差异

EduBeam 使用 Timoshenko 梁，它在经典 Euler–Bernoulli 弯曲挠度之上增加了剪切挠度 $\Delta w_s$。在静定情形中，转角、支反力和内力不受影响。对于细长杆件，这个附加项非常小；下表把它单独列了出来。

简支梁，均布荷载

$L = 6$ m，$q = 12$ kN/m。支座：节点 1 Dx + Dz，节点 2 Dz。

物理量	公式	数值	EduBeam
支反力	$qL/2$	36 kN	36 kN
$V_{max}$	$qL/2$	36 kN	36 kN
$M_{max}$（跨中）	$qL^2/8$	54 kNm	54 kNm
端部转角	$qL^3/(24EI)$	0.02647 rad	0.02647 rad
跨中挠度（弯曲）	$5qL^4/(384EI)$	49.63 mm	—
跨中挠度（剪切）	$qL^2/(8kGA)$	0.23 mm	—
跨中挠度（总计）	两者之和	49.86 mm	49.86 mm

要读取跨中挠度，请用添加节点（鼠标）在跨中添加一个节点 → 连接到结构；拆分单元不会改变任何结果。

悬臂梁，端部集中荷载

$L = 4$ m，自由端作用向下的 $F = 18$ kN。支座：节点 1 Dx + Dz + Ry。

物理量	公式	数值	EduBeam
竖向支反力	$F$	18 kN	18 kN
固端弯矩	$FL$	72 kNm	72 kNm
自由端转角	$FL^2/(2EI)$	0.03529 rad	0.03529 rad
自由端挠度（弯曲）	$FL^3/(3EI)$	94.11 mm	—
自由端挠度（剪切）	$FL/(kGA)$	0.31 mm	—
自由端挠度（总计）	两者之和	94.42 mm	94.42 mm

这里剪切项占 0.3 %。把悬臂梁缩短到 1 m，它就变成 5 %——这正是剪切系数的用途。

两端固定梁，均布荷载

$L = 6$ m，$q = 12$ kN/m。两个节点均为 Dx + Dz + Ry。

物理量	公式	数值
支反力	$qL/2$	36 kN
支座弯矩	$qL^2/12$	36 kNm（负弯矩）
跨中弯矩	$qL^2/24$	18 kNm（正弯矩）
跨中挠度	$qL^4/(384EI) + qL^2/(8kGA)$	9.93 + 0.23 = 10.16 mm

在简支梁模型的基础上，为两个节点都勾选 Ry 即可得到它，观察弯矩图如何移动。

一端固定一端简支梁，均布荷载

$L = 6$ m，$q = 12$ kN/m。节点 1 Dx + Dz + Ry，节点 2 Dz。

物理量	公式	数值
固定端支反力	$5qL/8$	45 kN
滑动铰支座处支反力	$3qL/8$	27 kN
固端弯矩	$qL^2/8$	54 kNm（负弯矩）
最大正弯矩	$9qL^2/128$，位于距固定端 $x = 5L/8$ 处	30.4 kNm，位于 3.75 m 处

应用会自动标注局部极值，因此你既能读出数值，也能（根据沿单元的位置）看出它出现在哪里。

两杆桁架

两根杆件分别从位于 (0, 0) 和 (4, 0) 的固定铰支座出发，交于 (2, −2)（顶点高 2 m），两根杆件都勾选了两端的端部铰接，顶点作用竖向荷载 $F = 20$ kN（向下，即 Fz = 20）。

每根杆件倾角为 45°，长度 $L = 2\sqrt{2}$ m。由对称性，每根杆件承受

N = -\frac{F}{2 \sin 45^\circ} = -14.14\ \text{kN（受压）}

每个支座承受 10 kN 的竖向力和 ±10 kN 的水平力。请查看 N (x) 图和支反力。

简支梁上的温度梯度

$L = 8$ m，$\Delta T_b - \Delta T_t = -10$ K（上缘更热），$\alpha = 12 \times 10^{-6}$，$h = 0.2$ m。

梁可以自由弯曲，因此没有内力；曲率为

$\kappa = \frac{\alpha\,(\Delta T_b - \Delta T_t)}{h} = \frac{12 \times 10^{-6} \cdot (-10)}{0.2} = -6 \times 10^{-4}\ \text{m}^{-1}$

跨中挠度为 $\kappa L^2 / 8 = -4.8$ mm（向上）。现在在两端约束 Ry：曲率被阻止，整个跨度上出现恒定弯矩 $M = EI\kappa = 2.45$ kNm。

位移约束

取不带荷载的一端固定一端简支梁，在滑动铰支座处施加 Dz = 10 mm（支座沉降）。把悬臂梁自由端向下推动 $w$ 所需的支反力为 $R = 3EIw/L^3 = 0.567$ kN，固端弯矩为 $RL = 3.40$ kNm。再加上均布荷载，结果按线性叠加。

自行校核的技巧

• 让单位标记保持在视野中；大多数差异都源于单位弄错。
• 学习直接刚度法时，用刚度矩阵窗口把单个单元与理论手册进行比较。
• 从结果标签页和悬停提示中读取精确数值，而不是从经过四舍五入的内力图标签中读取。结果标签页中的导出 CSV或复制也会给出支反力，可直接用于电子表格。
• 在设置中把数字格式设为自动，就能看到 40 而不是 4 · 10¹。
• 用分享模型把核对过的模型交给同事或老师。