Conferir resultados à mão

EduBeam é um bom lugar para praticar o hábito de que todo engenheiro precisa: nunca confiar em um número que você não consegue reproduzir, ao menos aproximadamente. Esta página traz fórmulas fechadas para os casos clássicos e mostra o que o aplicativo informa para eles, para que você monte cada modelo e compare.

Para exemplos completos resolvidos com conferência à mão, veja os tutoriais do pórtico triarticulado e da treliça plana.

Todos os casos usam a mesma seção de aço, salvo indicação em contrário: $E = 210\,000$ MPa, $G = 81\,000$ MPa, $A = 28{,}5$ cm², $I_y = 1943$ cm⁴, $h = 200$ mm, $k = 1$ (um IPE 200).

$EI = 210 \times 10^9 \cdot 1{,}943 \times 10^{-5} = 4{,}080 \times 10^6\ \text{Nm}^2$

Por que os números diferem ligeiramente

O EduBeam usa vigas de Timoshenko, que somam uma flecha por cisalhamento $\Delta w_s$ à flecha por flexão clássica de Euler–Bernoulli. Rotações, reações e esforços internos não mudam nos casos isostáticos. Em barras esbeltas o termo extra é minúsculo; as tabelas abaixo o mostram explicitamente.

Viga biapoiada com carga uniforme

$L = 6$ m, $q = 12$ kN/m. Apoios: nó 1 Dx + Dz, nó 2 Dz.

Grandeza	Fórmula	Valor	EduBeam
Reações	$qL/2$	36 kN	36 kN
$V_{max}$	$qL/2$	36 kN	36 kN
$M_{max}$ (meio do vão)	$qL^2/8$	54 kNm	54 kNm
Rotação no apoio	$qL^3/(24EI)$	0,02647 rad	0,02647 rad
Flecha no meio do vão (flexão)	$5qL^4/(384EI)$	49,63 mm	—
Flecha no meio do vão (cisalhamento)	$qL^2/(8kGA)$	0,23 mm	—
Flecha no meio do vão (total)	soma	49,86 mm	49,86 mm

Para ler a flecha no meio do vão, adicione um nó ali com Adicionar nó (mouse) → Conectar à estrutura; dividir o elemento não altera nenhum resultado.

Viga em balanço com carga na extremidade

$L = 4$ m, $F = 18$ kN para baixo na extremidade livre. Apoio: nó 1 Dx + Dz + Ry.

Grandeza	Fórmula	Valor	EduBeam
Reação vertical	$F$	18 kN	18 kN
Momento de engastamento	$FL$	72 kNm	72 kNm
Rotação na extremidade	$FL^2/(2EI)$	0,03529 rad	0,03529 rad
Flecha na extremidade (flexão)	$FL^3/(3EI)$	94,11 mm	—
Flecha na extremidade (cisalhamento)	$FL/(kGA)$	0,31 mm	—
Flecha na extremidade (total)	soma	94,42 mm	94,42 mm

O termo de cisalhamento aqui é 0,3 %. Encurte o balanço para 1 m e ele passa a 5 % — é para isso que serve o coeficiente de cisalhamento.

Viga biengastada com carga uniforme

$L = 6$ m, $q = 12$ kN/m. Ambos os nós Dx + Dz + Ry.

Grandeza	Fórmula	Valor
Reações	$qL/2$	36 kN
Momento no apoio	$qL^2/12$	36 kNm (negativo, tração em cima)
Momento no meio do vão	$qL^2/24$	18 kNm (positivo, tração embaixo)
Flecha no meio do vão	$qL^4/(384EI) + qL^2/(8kGA)$	9,93 + 0,23 = 10,16 mm

Monte-a a partir do caso biapoiado marcando Ry nos dois nós e observe o diagrama de momento se deslocar.

Viga engastada e apoiada com carga uniforme

$L = 6$ m, $q = 12$ kN/m. Nó 1 Dx + Dz + Ry, nó 2 Dz.

Grandeza	Fórmula	Valor
Reação no engaste	$5qL/8$	45 kN
Reação no apoio móvel	$3qL/8$	27 kN
Momento de engastamento	$qL^2/8$	54 kNm (negativo)
Momento positivo máximo	$9qL^2/128$ em $x = 5L/8$ a partir do engaste	30,4 kNm em 3,75 m

O aplicativo rotula o extremo local automaticamente, então você lê tanto o valor quanto (pela posição ao longo do elemento) onde ele ocorre.

Treliça de duas barras

Duas barras partindo de apoios fixos em (0, 0) e (4, 0) que se encontram em (2, −2) (vértice 2 m acima), com as rótulas de extremidade marcadas nas duas extremidades de ambas as barras, e carga vertical $F = 20$ kN no vértice (para baixo, ou seja, Fz = 20).

Cada barra está a 45°, com comprimento $L = 2\sqrt{2}$ m. Por simetria, cada uma suporta

N = -\frac{F}{2 \sin 45^\circ} = -14{,}14\ \text{kN (compressão)}

e cada apoio recebe 10 kN na vertical e ±10 kN na horizontal. Confira o diagrama N (x) e as reações.

Gradiente térmico em viga biapoiada

$L = 8$ m, $\Delta T_b - \Delta T_t = -10$ K (fibra superior mais quente), $\alpha = 12 \times 10^{-6}$, $h = 0{,}2$ m.

A viga é livre para se curvar, então não há esforços internos; a curvatura é

$\kappa = \frac{\alpha\,(\Delta T_b - \Delta T_t)}{h} = \frac{12 \times 10^{-6} \cdot (-10)}{0{,}2} = -6 \times 10^{-4}\ \text{m}^{-1}$

e a flecha no meio do vão é $\kappa L^2 / 8 = -4{,}8$ mm (para cima). Agora restrinja Ry nas duas extremidades: a curvatura é impedida e surge um momento constante $M = EI\kappa = 2{,}45$ kNm em todo o vão.

Deslocamento prescrito

Tome a viga engastada e apoiada sem a carga e prescreva Dz = 10 mm no apoio móvel (um recalque). A reação necessária para empurrar para baixo, em $w$, a extremidade de um balanço é $R = 3EIw/L^3 = 0{,}567$ kN e o momento de engastamento é $RL = 3{,}40$ kNm. Acrescente de volta a carga uniforme e os resultados se superpõem linearmente.

Dicas para suas próprias conferências

• Mantenha o indicador de unidades à vista; a maioria das discrepâncias são deslizes de unidades.
• Use a janela Matriz de rigidez para comparar um único elemento com o manual teórico ao estudar o método da rigidez direta.
• Leia os valores exatos na aba Resultados e nas dicas ao passar o mouse, não nos rótulos dos diagramas, que são arredondados. Exportar CSV ou Copiar na aba Resultados também fornecem as reações, prontas para uma planilha.
• Defina Formato numérico como Automático nas Configurações para ler 40 em vez de 4 · 10¹.
• Use Compartilhar modelo para entregar um modelo conferido a um colega ou professor.