桁架单元

桁架单元只承受轴力。EduBeam 中没有单独的桁架单元类型：桁架杆就是勾选了两端的端部铰接的梁单元，这会凝聚掉弯曲项，只留下下面的轴向刚度。

平面桁架单元示意图

自由度

平面桁架单元在每个节点有两个自由度：

• 平动（Dx）：沿 X 轴的位移。
• 平动（Dz）：沿 Z 轴的位移。

局部刚度矩阵

桁架单元的局部刚度矩阵为：

$\mathbf{K_l} = \begin{pmatrix} \frac{EA}{L} & 0 & -\frac{EA}{L} & 0 \\[2ex] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1ex] -\frac{EA}{L} & 0 & \frac{EA}{L} & 0 \\[2ex] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

其中：

• $E$ 为材料的杨氏模量
• $A$ 为杆件的横截面面积
• $L$ 为杆件的长度

坐标转换矩阵

单元坐标转换矩阵 $\mathbf{T}$ 用于把局部刚度矩阵转换到整体坐标系。

$\mathbf{T} = \begin{pmatrix} \cos(\alpha) & \sin(\alpha) & 0 & 0 \\ -\sin(\alpha) & \cos(\alpha) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cos(\alpha) & \sin(\alpha) \\ 0 & 0 & -\sin(\alpha) & \cos(\alpha) \end{pmatrix}$

整体刚度矩阵

整体刚度矩阵 $\mathbf{K_g}$ 由单元坐标转换矩阵 $\mathbf{T}$ 与局部刚度矩阵 $\mathbf{K_l}$ 相乘得到：

$\mathbf{K_g} = \mathbf{T}^\mathsf{T} \cdot \mathbf{K_l} \cdot \mathbf{T}$

相乘的结果为：

$\mathbf{K_g}={ {EA}\over{l}}\left[\begin{array}{cccc} c^2&cs&-c^2&-cs\\ cs&s^2&-cs& -s^2\\ -c^2&-cs&c^2&cs\\ -cs&-s^2&cs&s^2 \end{array}\right];\;\;\begin{array}{c}c=\cos(\alpha)\\s=\sin(\alpha)\end{array}$