Comprobar resultados a mano

EduBeam es un buen lugar para practicar el hábito que todo ingeniero necesita: no fiarse nunca de un número que no se puede reproducir, al menos aproximadamente. Esta página da fórmulas cerradas para los casos clásicos y muestra lo que la aplicación devuelve para ellos, de modo que puedas construir cada modelo y comparar.

Para ejemplos resueltos completos con comprobaciones a mano, consulta los tutoriales del pórtico triarticulado y de la celosía plana.

Todos los casos usan la misma sección de acero salvo que se indique lo contrario: $E = 210\,000$ MPa, $G = 81\,000$ MPa, $A = 28{,}5$ cm², $I_y = 1943$ cm⁴, $h = 200$ mm, $k = 1$ (un IPE 200).

$EI = 210 \times 10^9 \cdot 1{,}943 \times 10^{-5} = 4{,}080 \times 10^6\ \text{Nm}^2$

Por qué los números difieren ligeramente

EduBeam usa vigas de Timoshenko, que añaden una flecha por cortante $\Delta w_s$ a la flecha por flexión clásica de Euler–Bernoulli. Los giros, las reacciones y los esfuerzos no cambian en los casos isostáticos. En barras esbeltas el término adicional es minúsculo; las tablas siguientes lo muestran explícitamente.

Viga biapoyada con carga uniforme

$L = 6$ m, $q = 12$ kN/m. Apoyos: nodo 1 Dx + Dz, nodo 2 Dz.

Magnitud	Fórmula	Valor	EduBeam
Reacciones	$qL/2$	36 kN	36 kN
$V_{max}$	$qL/2$	36 kN	36 kN
$M_{max}$ (centro del vano)	$qL^2/8$	54 kNm	54 kNm
Giro en el apoyo	$qL^3/(24EI)$	0,02647 rad	0,02647 rad
Flecha en el centro del vano (flexión)	$5qL^4/(384EI)$	49,63 mm	—
Flecha en el centro del vano (cortante)	$qL^2/(8kGA)$	0,23 mm	—
Flecha en el centro del vano (total)	suma	49,86 mm	49,86 mm

Para leer la flecha en el centro del vano, añade allí un nodo con Añadir nodo (con el ratón) → Conectar a la estructura; dividir el elemento no cambia ningún resultado.

Voladizo con carga en el extremo

$L = 4$ m, $F = 18$ kN hacia abajo en el extremo libre. Apoyo: nodo 1 Dx + Dz + Ry.

Magnitud	Fórmula	Valor	EduBeam
Reacción vertical	$F$	18 kN	18 kN
Momento de empotramiento	$FL$	72 kNm	72 kNm
Giro en el extremo	$FL^2/(2EI)$	0,03529 rad	0,03529 rad
Flecha en el extremo (flexión)	$FL^3/(3EI)$	94,11 mm	—
Flecha en el extremo (cortante)	$FL/(kGA)$	0,31 mm	—
Flecha en el extremo (total)	suma	94,42 mm	94,42 mm

Aquí el término de cortante es un 0,3 %. Acorta el voladizo a 1 m y pasa a ser un 5 %: para eso sirve el coeficiente de cortante.

Viga biempotrada con carga uniforme

$L = 6$ m, $q = 12$ kN/m. Ambos nodos Dx + Dz + Ry.

Magnitud	Fórmula	Valor
Reacciones	$qL/2$	36 kN
Momento en el apoyo	$qL^2/12$	36 kNm (negativo)
Momento en el centro del vano	$qL^2/24$	18 kNm (positivo)
Flecha en el centro del vano	$qL^4/(384EI) + qL^2/(8kGA)$	9,93 + 0,23 = 10,16 mm

Constrúyela a partir del caso biapoyado marcando Ry en ambos nodos y observa cómo se desplaza el diagrama de momentos.

Viga empotrada-apoyada con carga uniforme

$L = 6$ m, $q = 12$ kN/m. Nodo 1 Dx + Dz + Ry, nodo 2 Dz.

Magnitud	Fórmula	Valor
Reacción en el empotramiento	$5qL/8$	45 kN
Reacción en el rodillo	$3qL/8$	27 kN
Momento de empotramiento	$qL^2/8$	54 kNm (negativo)
Momento positivo máximo	$9qL^2/128$ en $x = 5L/8$ desde el empotramiento	30,4 kNm en 3,75 m

La aplicación etiqueta automáticamente el extremo local, así que puedes leer tanto el valor como (por la posición a lo largo del elemento) dónde se produce.

Celosía de dos barras

Dos barras desde apoyos articulados en (0, 0) y (4, 0) que se unen en (2, −2) (vértice 2 m más arriba), con las rótulas de extremo marcadas en ambos extremos de las dos barras, y una carga vertical $F = 20$ kN en el vértice (hacia abajo, es decir, Fz = 20).

Cada barra está a 45°, con longitud $L = 2\sqrt{2}$ m. Por simetría, cada una soporta

N = -\frac{F}{2 \sin 45^\circ} = -14{,}14\ \text{kN (compresión)}

y cada apoyo recibe 10 kN en vertical y ±10 kN en horizontal. Comprueba la capa N (x) y las reacciones.

Gradiente térmico en una viga biapoyada

$L = 8$ m, $\Delta T_b - \Delta T_t = -10$ K (fibra superior más caliente), $\alpha = 12 \times 10^{-6}$, $h = 0{,}2$ m.

La viga puede curvarse libremente, así que no hay esfuerzos; la curvatura es

$\kappa = \frac{\alpha\,(\Delta T_b - \Delta T_t)}{h} = \frac{12 \times 10^{-6} \cdot (-10)}{0{,}2} = -6 \times 10^{-4}\ \text{m}^{-1}$

y la flecha en el centro del vano es $\kappa L^2 / 8 = -4{,}8$ mm (hacia arriba). Restringe ahora Ry en ambos extremos: la curvatura queda impedida y aparece un momento constante $M = EI\kappa = 2{,}45$ kNm en todo el vano.

Desplazamiento impuesto

Toma la viga empotrada-apoyada sin la carga e impón Dz = 10 mm en el rodillo (un asiento). La reacción necesaria para bajar una distancia $w$ el extremo de un voladizo es $R = 3EIw/L^3 = 0{,}567$ kN, y el momento de empotramiento es $RL = 3{,}40$ kNm. Vuelve a añadir la carga uniforme y los resultados se superponen linealmente.

Consejos para tus propias comprobaciones

• Ten a la vista la etiqueta de unidades; la mayoría de las discrepancias son despistes de unidades.
• Usa la ventana Matriz de rigidez para comparar un solo elemento con el manual teórico cuando estudies el método directo de la rigidez.
• Lee los valores exactos en la pestaña Resultados y en los tooltips, no en las etiquetas de los diagramas, que están redondeadas. Exportar CSV o Copiar en la pestaña Resultados también te dan las reacciones, listas para una hoja de cálculo.
• Pon el Formato numérico en Automático en Configuración para leer 40 en lugar de 4 · 10¹.
• Usa Compartir modelo para pasar un modelo comprobado a un compañero o a un profesor.