Проверка результатов вручную

EduBeam — хорошее место, чтобы выработать привычку, необходимую каждому инженеру: никогда не доверять числу, которое нельзя хотя бы грубо воспроизвести. На этой странице собраны замкнутые формулы для классических случаев и показано, что выдаёт приложение, чтобы вы могли построить каждую модель сами и сравнить.

Во всех случаях, если не сказано иное, используется одно и то же стальное сечение: $E = 210\,000$ МПа, $G = 81\,000$ МПа, $A = 28{,}5$ см², $I_y = 1943$ см⁴, $h = 200$ мм, $k = 1$ (IPE 200).

EI = 210 \times 10^9 \cdot 1.943 \times 10^{-5} = 4.080 \times 10^6\ \text{Н·м}^2

Почему числа немного отличаются

EduBeam использует балку Тимошенко, которая добавляет к классическому изгибному прогибу Эйлера–Бернулли прогиб от сдвига $\Delta w_s$. Углы поворота, реакции и внутренние усилия в статически определимых системах от этого не меняются. Для гибких стержней добавка ничтожна; в таблицах ниже она показана явно.

Шарнирно опёртая балка, равномерная нагрузка

$L = 6$ м, $q = 12$ кН/м. Опоры: узел 1 Dx + Dz, узел 2 Dz.

Величина	Формула	Значение	EduBeam
Реакции	$qL/2$	36 кН	36 кН
$V_{max}$	$qL/2$	36 кН	36 кН
$M_{max}$ (середина пролёта)	$qL^2/8$	54 кНм	54 кНм
Угол поворота на опоре	$qL^3/(24EI)$	0,02647 рад	0,02647 рад
Прогиб в середине пролёта	$5qL^4/(384EI)$	49,63 мм	49,63 мм

Консоль, сила на свободном конце

$L = 4$ м, $F = 18$ кН вниз на свободном конце. Опора: узел 1 Dx + Dz + Ry.

Величина	Формула	Значение	EduBeam
Вертикальная реакция	$F$	18 кН	18 кН
Момент в заделке	$FL$	72 кНм	72 кНм
Угол поворота на конце	$FL^2/(2EI)$	0,03529 рад	0,03529 рад
Прогиб конца (изгиб)	$FL^3/(3EI)$	94,11 мм	—
Прогиб конца (сдвиг)	$FL/(kGA)$	0,31 мм	—
Прогиб конца (полный)	сумма	94,42 мм	94,42 мм

Сдвиговая составляющая здесь 0,3 %. Укоротите консоль до 1 м — и она вырастет до 5 %; именно для этого нужен коэффициент сдвига.

Балка с двумя заделками, равномерная нагрузка

$L = 6$ м, $q = 12$ кН/м. Оба узла Dx + Dz + Ry.

Величина	Формула	Значение
Реакции	$qL/2$	36 кН
Опорный момент	$qL^2/12$	36 кНм (растянуты верхние волокна)
Момент в середине пролёта	$qL^2/24$	18 кНм (растянуты нижние волокна)
Прогиб в середине пролёта	$qL^4/(384EI)$	9,93 мм

Получите её из шарнирно опёртой балки, отметив Ry в обоих узлах, и понаблюдайте, как сместится эпюра моментов.

Заделка и шарнирно-подвижная опора, равномерная нагрузка

$L = 6$ м, $q = 12$ кН/м. Узел 1 Dx + Dz + Ry, узел 2 Dz.

Величина	Формула	Значение
Реакция в заделке	$5qL/8$	45 кН
Реакция на подвижной опоре	$3qL/8$	27 кН
Момент в заделке	$qL^2/8$	54 кНм (растянуты верхние волокна)
Макс. пролётный момент	$9qL^2/128$ при $x = 5L/8$ от заделки	30,4 кНм при 3,75 м

Приложение само подписывает локальный экстремум, так что можно прочитать и значение, и (по положению вдоль элемента) место, где он достигается.

Ферма из двух стержней

Два стержня от шарнирно-неподвижных опор в точках (0, 0) и (4, 0) сходятся в точке (2, −2) (вершина на 2 м выше); у обоих стержней отмечены оба концевых шарнира; вертикальная сила $F = 20$ кН в вершине (вниз, т. е. Fz = 20).

Каждый стержень наклонён под 45°, длина $L = 2\sqrt{2}$ м. По симметрии в каждом действует

N = -\frac{F}{2 \sin 45^\circ} = -14.14\ \text{кН (сжатие)}

а на каждую опору приходится 10 кН по вертикали и ±10 кН по горизонтали. Проверьте слой N (x) и реакции.

Перепад температуры в шарнирно опёртой балке

$L = 8$ м, $\Delta T_b - \Delta T_t = -10$ K (верх теплее), $\alpha = 12 \times 10^{-6}$, $h = 0{,}2$ м.

Балка свободно искривляется, поэтому внутренних усилий нет; кривизна равна

\kappa = \frac{\alpha\,(\Delta T_b - \Delta T_t)}{h} = \frac{12 \times 10^{-6} \cdot (-10)}{0.2} = -6 \times 10^{-4}\ \text{м}^{-1}

а прогиб в середине пролёта $\kappa L^2 / 8 = -4{,}8$ мм (вверх). Теперь закрепите Ry на обоих концах: кривизна заблокирована, и по всему пролёту появляется постоянный момент $M = EI\kappa = 2{,}45$ кНм.

Заданное перемещение

Возьмите балку с заделкой и подвижной опорой без нагрузки и задайте Dz = 10 mm на подвижной опоре (осадка). Реакция, необходимая, чтобы опустить конец консоли на $w$, равна $R = 3EIw/L^3 = 0{,}567$ кН, а момент в заделке $RL = 3{,}40$ кНм. Верните распределённую нагрузку — результаты сложатся линейно.

Советы для собственных проверок

• Держите плашку единиц в поле зрения: большинство расхождений — это путаница в единицах.
• Используйте окно Матрица жёсткости, чтобы сравнить отдельный элемент с теоретическим руководством при изучении метода перемещений.
• Точные числа читайте во вкладке Результаты и во всплывающих подсказках, а не с подписей эпюр — они округлены.
• Используйте Поделиться моделью, чтобы передать проверенную модель коллеге или преподавателю.