Ergebnisse von Hand prüfen

EduBeam ist ein guter Ort, um die Gewohnheit zu üben, die jede Ingenieurin und jeder Ingenieur braucht: keiner Zahl trauen, die man nicht wenigstens überschlägig reproduzieren kann. Diese Seite gibt geschlossene Formeln für die klassischen Fälle und zeigt, was die App dafür ausgibt – bauen Sie jedes Modell selbst nach und vergleichen Sie.

Alle Fälle verwenden, sofern nicht anders angegeben, denselben Stahlquerschnitt: $E = 210\,000$ MPa, $G = 81\,000$ MPa, $A = 28{,}5$ cm², $I_y = 1943$ cm⁴, $h = 200$ mm, $k = 1$ (ein IPE 200).

$EI = 210 \times 10^9 \cdot 1{,}943 \times 10^{-5} = 4{,}080 \times 10^6\ \text{Nm}^2$

Warum die Zahlen leicht abweichen

EduBeam verwendet Timoshenko-Balken, die zur klassischen Biegedurchbiegung des Euler-Bernoulli-Balkens einen Schubanteil $\Delta w_s$ hinzufügen. Verdrehungen, Auflagerreaktionen und Schnittgrößen bleiben in statisch bestimmten Fällen davon unberührt. Bei schlanken Stäben ist der Zusatzterm winzig; die Tabellen unten weisen ihn explizit aus.

Einfeldträger unter Gleichlast

$L = 6$ m, $q = 12$ kN/m. Lager: Knoten 1 Dx + Dz, Knoten 2 Dz.

Größe	Formel	Wert	EduBeam
Auflagerkräfte	$qL/2$	36 kN	36 kN
$V_{max}$	$qL/2$	36 kN	36 kN
$M_{max}$ (Feldmitte)	$qL^2/8$	54 kNm	54 kNm
Verdrehung am Auflager	$qL^3/(24EI)$	0,02647 rad	0,02647 rad
Durchbiegung in Feldmitte	$5qL^4/(384EI)$	49,63 mm	49,63 mm

Kragarm mit Einzellast am Ende

$L = 4$ m, $F = 18$ kN nach unten am freien Ende. Lager: Knoten 1 Dx + Dz + Ry.

Größe	Formel	Wert	EduBeam
Vertikale Auflagerkraft	$F$	18 kN	18 kN
Einspannmoment	$FL$	72 kNm	72 kNm
Verdrehung am Ende	$FL^2/(2EI)$	0,03529 rad	0,03529 rad
Durchbiegung am Ende (Biegung)	$FL^3/(3EI)$	94,11 mm	—
Durchbiegung am Ende (Schub)	$FL/(kGA)$	0,31 mm	—
Durchbiegung am Ende (gesamt)	Summe	94,42 mm	94,42 mm

Der Schubanteil beträgt hier 0,3 %. Verkürzen Sie den Kragarm auf 1 m, werden daraus 5 % – genau dafür gibt es den Schubkoeffizienten.

Beidseitig eingespannter Träger unter Gleichlast

$L = 6$ m, $q = 12$ kN/m. Beide Knoten Dx + Dz + Ry.

Größe	Formel	Wert
Auflagerkräfte	$qL/2$	36 kN
Einspannmoment	$qL^2/12$	36 kNm (negativ, Zug oben)
Feldmoment	$qL^2/24$	18 kNm (positiv)
Durchbiegung in Feldmitte	$qL^4/(384EI)$	9,93 mm

Erzeugen Sie ihn aus dem Einfeldträger, indem Sie an beiden Knoten Ry anhaken, und beobachten Sie, wie sich die Momentenlinie verschiebt.

Einseitig eingespannter Träger unter Gleichlast

$L = 6$ m, $q = 12$ kN/m. Knoten 1 Dx + Dz + Ry, Knoten 2 Dz.

Größe	Formel	Wert
Auflagerkraft an der Einspannung	$5qL/8$	45 kN
Auflagerkraft am Loslager	$3qL/8$	27 kN
Einspannmoment	$qL^2/8$	54 kNm (negativ)
Max. Feldmoment	$9qL^2/128$ bei $x = 5L/8$ von der Einspannung	30,4 kNm bei 3,75 m

Die App beschriftet das lokale Extremum automatisch, sodass Sie Wert und (aus der Lage am Stab) Stelle ablesen können.

Zweistab-Fachwerk

Zwei Stäbe von Festlagern bei (0, 0) und (4, 0), die sich bei (2, −2) treffen (Firstpunkt 2 m über den Lagern), bei beiden Stäben beide Endgelenke angehakt, vertikale Last $F = 20$ kN am Firstpunkt (nach unten, also Fz = 20).

Jeder Stab steht unter 45°, Länge $L = 2\sqrt{2}$ m. Aus Symmetrie trägt jeder

$N = -\frac{F}{2 \sin 45^\circ} = -14{,}14\ \text{kN (Druck)}$

und jedes Lager nimmt 10 kN vertikal und ±10 kN horizontal auf. Prüfen Sie die Darstellung N (x) und die Auflagerreaktionen.

Temperaturgradient am Einfeldträger

$L = 8$ m, $\Delta T_b - \Delta T_t = -10$ K (oben wärmer), $\alpha = 12 \times 10^{-6}$, $h = 0{,}2$ m.

Der Balken kann sich frei krümmen, es entstehen also keine Schnittgrößen; die Krümmung beträgt

$\kappa = \frac{\alpha\,(\Delta T_b - \Delta T_t)}{h} = \frac{12 \times 10^{-6} \cdot (-10)}{0{,}2} = -6 \times 10^{-4}\ \text{m}^{-1}$

und die Durchbiegung in Feldmitte $\kappa L^2 / 8 = -4{,}8$ mm (nach oben). Halten Sie nun Ry an beiden Enden: die Krümmung wird verhindert und über die ganze Spannweite entsteht ein konstantes Moment $M = EI\kappa = 2{,}45$ kNm.

Vorgegebene Verschiebung

Nehmen Sie den einseitig eingespannten Träger ohne Last und geben Sie am Loslager Dz = 10 mm vor (Auflagersenkung). Die Kraft, die nötig ist, das Ende eines Kragarms um $w$ nach unten zu drücken, ist $R = 3EIw/L^3 = 0{,}567$ kN, das Einspannmoment $RL = 3{,}40$ kNm. Fügen Sie die Gleichlast wieder hinzu, und die Ergebnisse überlagern sich linear.

Tipps für eigene Kontrollen

• Behalten Sie den Einheiten-Chip im Blick; die meisten Abweichungen sind Einheitenfehler.
• Nutzen Sie das Fenster Steifigkeitsmatrix, um ein einzelnes Element mit dem Theoriehandbuch zu vergleichen, wenn Sie das Weggrößenverfahren lernen.
• Lesen Sie exakte Zahlen im Reiter Ergebnisse und in den Tooltips ab, nicht aus den gerundeten Diagrammbeschriftungen.
• Übergeben Sie ein geprüftes Modell per Modell teilen an Kollegen oder Lehrende.