Sprawdzanie wyników ręcznie

EduBeam to dobre miejsce, by ćwiczyć nawyk potrzebny każdemu inżynierowi: nigdy nie ufaj liczbie, której nie potrafisz choćby w przybliżeniu odtworzyć. Ta strona podaje wzory zamknięte dla klasycznych przypadków i pokazuje, co dla nich zwraca aplikacja, abyś mógł zbudować każdy model samodzielnie i porównać.

Wszystkie przypadki, o ile nie zaznaczono inaczej, używają tego samego przekroju stalowego: $E = 210\,000$ MPa, $G = 81\,000$ MPa, $A = 28{,}5$ cm², $I_y = 1943$ cm⁴, $h = 200$ mm, $k = 1$ (IPE 200).

$EI = 210 \times 10^9 \cdot 1.943 \times 10^{-5} = 4.080 \times 10^6\ \text{Nm}^2$

Dlaczego liczby nieznacznie się różnią

EduBeam używa belek Timoshenki, które do klasycznego ugięcia od zginania (Eulera–Bernoulliego) dodają ugięcie od ścinania $\Delta w_s$. Kąty obrotu, reakcje i siły przekrojowe w układach statycznie wyznaczalnych pozostają bez zmian. Dla prętów smukłych dodatkowy człon jest znikomy; poniższe tabele pokazują go jawnie.

Belka swobodnie podparta, obciążenie równomierne

$L = 6$ m, $q = 12$ kN/m. Podpory: węzeł 1 Dx + Dz, węzeł 2 Dz.

Wielkość	Wzór	Wartość	EduBeam
Reakcje	$qL/2$	36 kN	36 kN
$V_{max}$	$qL/2$	36 kN	36 kN
$M_{max}$ (środek rozpiętości)	$qL^2/8$	54 kNm	54 kNm
Kąt obrotu na podporze	$qL^3/(24EI)$	0,02647 rad	0,02647 rad
Ugięcie w środku rozpiętości	$5qL^4/(384EI)$	49,63 mm	49,63 mm

Wspornik, siła na końcu

$L = 4$ m, $F = 18$ kN w dół na swobodnym końcu. Podpora: węzeł 1 Dx + Dz + Ry.

Wielkość	Wzór	Wartość	EduBeam
Reakcja pionowa	$F$	18 kN	18 kN
Moment utwierdzenia	$FL$	72 kNm	72 kNm
Kąt obrotu końca	$FL^2/(2EI)$	0,03529 rad	0,03529 rad
Ugięcie końca (zginanie)	$FL^3/(3EI)$	94,11 mm	—
Ugięcie końca (ścinanie)	$FL/(kGA)$	0,31 mm	—
Ugięcie końca (łącznie)	suma	94,42 mm	94,42 mm

Człon od ścinania wynosi tu 0,3 %. Skróć wspornik do 1 m, a wzrośnie do 5 % — właśnie do tego służy współczynnik ścinania.

Belka obustronnie utwierdzona, obciążenie równomierne

$L = 6$ m, $q = 12$ kN/m. Oba węzły Dx + Dz + Ry.

Wielkość	Wzór	Wartość
Reakcje	$qL/2$	36 kN
Moment podporowy	$qL^2/12$	36 kNm (ujemny)
Moment w środku rozpiętości	$qL^2/24$	18 kNm (dodatni)
Ugięcie w środku rozpiętości	$qL^4/(384EI)$	9,93 mm

Zbuduj ją z belki swobodnie podpartej, zaznaczając Ry w obu węzłach, i obserwuj, jak przesuwa się wykres momentów.

Belka utwierdzona i podparta, obciążenie równomierne

$L = 6$ m, $q = 12$ kN/m. Węzeł 1 Dx + Dz + Ry, węzeł 2 Dz.

Wielkość	Wzór	Wartość
Reakcja w utwierdzeniu	$5qL/8$	45 kN
Reakcja na podporze przesuwnej	$3qL/8$	27 kN
Moment utwierdzenia	$qL^2/8$	54 kNm (ujemny)
Maks. moment dodatni	$9qL^2/128$ w $x = 5L/8$ od utwierdzenia	30,4 kNm w 3,75 m

Aplikacja automatycznie opisuje ekstremum lokalne, więc możesz odczytać zarówno wartość, jak i (z położenia wzdłuż elementu) miejsce jego wystąpienia.

Kratownica z dwóch prętów

Dwa pręty wychodzące z podpór przegubowych nieprzesuwnych w (0, 0) i (4, 0), zbiegające się w (2, −2) (wierzchołek 2 m wyżej), w obu prętach zaznaczone oba przeguby końcowe, siła pionowa $F = 20$ kN w wierzchołku (w dół, czyli Fz = 20).

Każdy pręt jest nachylony pod kątem 45°, długość $L = 2\sqrt{2}$ m. Z symetrii każdy przenosi

N = -\frac{F}{2 \sin 45^\circ} = -14.14\ \text{kN (ściskanie)}

a każda z podpór przejmuje 10 kN pionowo i ±10 kN poziomo. Sprawdź warstwę N (x) oraz reakcje.

Nierównomierne ogrzanie belki swobodnie podpartej

$L = 8$ m, $\Delta T_b - \Delta T_t = -10$ K (góra cieplejsza), $\alpha = 12 \times 10^{-6}$, $h = 0{,}2$ m.

Belka może się swobodnie wyginać, więc nie powstają siły przekrojowe; krzywizna wynosi

$\kappa = \frac{\alpha\,(\Delta T_b - \Delta T_t)}{h} = \frac{12 \times 10^{-6} \cdot (-10)}{0.2} = -6 \times 10^{-4}\ \text{m}^{-1}$

a ugięcie w środku rozpiętości $\kappa L^2 / 8 = -4{,}8$ mm (do góry). Teraz zablokuj Ry na obu końcach: krzywizna zostaje powstrzymana i na całej długości pojawia się stały moment $M = EI\kappa = 2{,}45$ kNm.

Zadane przemieszczenie

Weź belkę utwierdzoną i podpartą bez obciążenia i zadaj Dz = 10 mm na podporze przesuwnej (osiadanie). Reakcja potrzebna, by przesunąć koniec wspornika w dół o $w$, wynosi $R = 3EIw/L^3 = 0{,}567$ kN, a moment utwierdzenia $RL = 3{,}40$ kNm. Dodaj z powrotem obciążenie równomierne — wyniki sumują się liniowo (zasada superpozycji).

Wskazówki do własnych sprawdzeń

• Miej na oku plakietkę jednostek; większość rozbieżności to pomyłki w jednostkach.
• Używaj okna Macierz sztywności, by porównać pojedynczy element z podręcznikiem teoretycznym podczas nauki metody przemieszczeń.
• Dokładne liczby odczytuj z zakładki Wyniki i podpowiedzi po najechaniu, a nie z etykiet na wykresach, które są zaokrąglone.
• Użyj Udostępnij model, aby przekazać sprawdzony model koledze lub prowadzącemu.