Перевірка результатів вручну

EduBeam — добре місце, щоб виробити звичку, потрібну кожному інженерові: ніколи не довіряти числу, яке не можеш хоча б приблизно відтворити. На цій сторінці наведено формули в замкненому вигляді для класичних випадків і те, що для них показує застосунок, тож ви можете побудувати кожну модель самостійно та порівняти.

Повністю розв'язані приклади з ручною перевіркою див. у покрокових прикладах тришарнірна рама і плоска ферма.

Усі випадки використовують той самий сталевий переріз, якщо не зазначено інше: $E = 210\,000$ MPa, $G = 81\,000$ MPa, $A = 28{,}5$ cm², $I_y = 1943$ cm⁴, $h = 200$ mm, $k = 1$ (IPE 200).

$EI = 210 \times 10^9 \cdot 1{,}943 \times 10^{-5} = 4{,}080 \times 10^6\ \text{Nm}^2$

Чому числа трохи відрізняються

EduBeam використовує балки Тимошенка, які додають зсувний прогин $\Delta w_s$ до класичного згинального прогину за Ейлером–Бернуллі. На кути повороту, реакції та внутрішні зусилля в статично визначуваних системах це не впливає. Для гнучких стрижнів додатковий член мізерний; у таблицях нижче його показано явно.

Шарнірно оперта балка, рівномірне навантаження

$L = 6$ m, $q = 12$ kN/m. Опори: вузол 1 Dx + Dz, вузол 2 Dz.

Величина	Формула	Значення	EduBeam
Реакції	$qL/2$	36 kN	36 kN
$V_{max}$	$qL/2$	36 kN	36 kN
$M_{max}$ (середина прольоту)	$qL^2/8$	54 kNm	54 kNm
Кут повороту на опорі	$qL^3/(24EI)$	0,02647 rad	0,02647 rad
Прогин посередині прольоту (згин)	$5qL^4/(384EI)$	49,63 mm	—
Прогин посередині прольоту (зсув)	$qL^2/(8kGA)$	0,23 mm	—
Прогин посередині прольоту (разом)	сума	49,86 mm	49,86 mm

Щоб прочитати прогин посередині прольоту, додайте там вузол за допомогою Додати вузол (мишею) → З'єднати з конструкцією; розділення елемента не змінює жодного результату.

Консоль, сила на вільному кінці

$L = 4$ m, $F = 18$ kN униз на вільному кінці. Опора: вузол 1 Dx + Dz + Ry.

Величина	Формула	Значення	EduBeam
Вертикальна реакція	$F$	18 kN	18 kN
Момент у защемленні	$FL$	72 kNm	72 kNm
Кут повороту на кінці	$FL^2/(2EI)$	0,03529 rad	0,03529 rad
Прогин кінця (згин)	$FL^3/(3EI)$	94,11 mm	—
Прогин кінця (зсув)	$FL/(kGA)$	0,31 mm	—
Прогин кінця (разом)	сума	94,42 mm	94,42 mm

Зсувна частка тут становить 0,3 %. Скоротіть консоль до 1 m — і вона стане 5 %; саме для цього й потрібен коефіцієнт зсуву.

Балка з двома защемленнями, рівномірне навантаження

$L = 6$ m, $q = 12$ kN/m. Обидва вузли Dx + Dz + Ry.

Величина	Формула	Значення
Реакції	$qL/2$	36 kN
Опорний момент	$qL^2/12$	36 kNm (від'ємний, розтяг зверху)
Момент посередині прольоту	$qL^2/24$	18 kNm (додатний, розтяг знизу)
Прогин посередині прольоту	$qL^4/(384EI) + qL^2/(8kGA)$	9,93 + 0,23 = 10,16 mm

Побудуйте її з шарнірно опертої балки, позначивши Ry в обох вузлах, і спостерігайте, як зміщується епюра моментів.

Консоль із додатковою опорою, рівномірне навантаження

$L = 6$ m, $q = 12$ kN/m. Вузол 1 Dx + Dz + Ry, вузол 2 Dz.

Величина	Формула	Значення
Реакція в защемленні	$5qL/8$	45 kN
Реакція на шарнірно-рухомій опорі	$3qL/8$	27 kN
Момент у защемленні	$qL^2/8$	54 kNm (від'ємний)
Макс. додатний момент	$9qL^2/128$ при $x = 5L/8$ від защемлення	30,4 kNm на відстані 3,75 m

Застосунок автоматично підписує локальний екстремум, тож можна зчитати і значення, і (за положенням уздовж елемента) місце, де він виникає.

Ферма з двох стрижнів

Два стрижні від шарнірно-нерухомих опор у точках (0, 0) і (4, 0) сходяться у точці (2, −2) (вершина на 2 m вище), в обох стрижнів позначено обидва кінцеві шарніри, у вершині прикладено вертикальну силу $F = 20$ kN (униз, тобто Fz = 20).

Кожен стрижень нахилений під 45°, довжина $L = 2\sqrt{2}$ m. За симетрією кожен несе

N = -\frac{F}{2 \sin 45^\circ} = -14{,}14\ \text{kN (стиск)}

а на кожну опору припадає 10 kN по вертикалі та ±10 kN по горизонталі. Перевірте шар N (x) і реакції.

Температурний градієнт на шарнірно опертій балці

$L = 8$ m, $\Delta T_b - \Delta T_t = -10$ K (верх тепліший), $\alpha = 12 \times 10^{-6}$, $h = 0{,}2$ m.

Балка може вільно викривлятися, тому внутрішніх зусиль немає; кривина дорівнює

$\kappa = \frac{\alpha\,(\Delta T_b - \Delta T_t)}{h} = \frac{12 \times 10^{-6} \cdot (-10)}{0{,}2} = -6 \times 10^{-4}\ \text{m}^{-1}$

а прогин посередині прольоту — $\kappa L^2 / 8 = -4{,}8$ mm (угору). Тепер закріпіть Ry на обох кінцях: кривину заблоковано, і по всьому прольоту виникає сталий момент $M = EI\kappa = 2{,}45$ kNm.

Задане переміщення

Візьміть консоль із додатковою опорою без навантаження й задайте Dz = 10 mm на шарнірно-рухомій опорі (осідання). Реакція, потрібна, щоб опустити кінець консолі на $w$, дорівнює $R = 3EIw/L^3 = 0{,}567$ kN, а момент у защемленні — $RL = 3{,}40$ kNm. Поверніть рівномірне навантаження — і результати лінійно накладуться.

Поради для власних перевірок

• Тримайте чип одиниць у полі зору; більшість розбіжностей — це помилки з одиницями.
• Використовуйте вікно Матриця жорсткості, щоб порівняти один елемент із теоретичним посібником, коли вивчаєте метод переміщень (метод прямої жорсткості).
• Точні числа зчитуйте з вкладки Результати та підказок під курсором, а не з підписів на епюрах, які округлені. Експорт CSV або Копіювати на вкладці Результати також дають вам реакції, готові для електронної таблиці.
• Установіть у Налаштуваннях Формат чисел на Автоматичний, щоб бачити 40 замість 4 · 10¹.
• Використовуйте Поділитися моделлю, щоб передати перевірену модель колезі чи викладачеві.