Перевірка результатів вручну

EduBeam — добре місце, щоб виробити звичку, потрібну кожному інженерові: ніколи не довіряти числу, яке не можеш хоча б приблизно відтворити. На цій сторінці наведено формули в замкненому вигляді для класичних випадків і те, що для них показує застосунок, — тож ви можете побудувати кожну модель самостійно та порівняти.

Усі випадки використовують той самий сталевий переріз, якщо не зазначено інше: $E = 210\,000$ МПа, $G = 81\,000$ МПа, $A = 28{,}5$ см², $I_y = 1943$ см⁴, $h = 200$ мм, $k = 1$ (IPE 200).

EI = 210 \times 10^9 \cdot 1.943 \times 10^{-5} = 4.080 \times 10^6\ \text{Нм}^2

Чому числа трохи відрізняються

EduBeam використовує балки Тимошенка, які додають зсувний прогин $\Delta w_s$ до класичного згинального прогину за Ейлером–Бернуллі. На кути повороту, реакції та внутрішні зусилля в статично визначуваних системах це не впливає. Для гнучких стрижнів додатковий член мізерний; у таблицях нижче його показано явно.

Однопрогонова шарнірно обперта балка, рівномірне навантаження

$L = 6$ м, $q = 12$ кН/м. Опори: вузол 1 Dx + Dz, вузол 2 Dz.

Величина	Формула	Значення	EduBeam
Реакції	$qL/2$	36 кН	36 кН
$V_{max}$	$qL/2$	36 кН	36 кН
$M_{max}$ (середина прольоту)	$qL^2/8$	54 кНм	54 кНм
Кут повороту на опорі	$qL^3/(24EI)$	0,02647 рад	0,02647 рад
Прогин посередині прольоту	$5qL^4/(384EI)$	49,63 мм	49,63 мм

Консоль, сила на вільному кінці

$L = 4$ м, $F = 18$ кН униз на вільному кінці. Опора: вузол 1 Dx + Dz + Ry.

Величина	Формула	Значення	EduBeam
Вертикальна реакція	$F$	18 кН	18 кН
Момент у защемленні	$FL$	72 кНм	72 кНм
Кут повороту на кінці	$FL^2/(2EI)$	0,03529 рад	0,03529 рад
Прогин кінця (згин)	$FL^3/(3EI)$	94,11 мм	—
Прогин кінця (зсув)	$FL/(kGA)$	0,31 мм	—
Прогин кінця (сумарний)	сума	94,42 мм	94,42 мм

Зсувна частка тут становить 0,3 %. Скоротіть консоль до 1 м — і вона стане 5 %; саме для цього й потрібен коефіцієнт зсуву.

Балка з двома защемленнями, рівномірне навантаження

$L = 6$ м, $q = 12$ кН/м. Обидва вузли Dx + Dz + Ry.

Величина	Формула	Значення
Реакції	$qL/2$	36 кН
Опорний момент	$qL^2/12$	36 кНм (від'ємний, розтяг зверху)
Момент посередині прольоту	$qL^2/24$	18 кНм (додатний, розтяг знизу)
Прогин посередині прольоту	$qL^4/(384EI)$	9,93 мм

Побудуйте її з шарнірно обпертої балки, позначивши Ry в обох вузлах, і спостерігайте, як зміщується епюра моментів.

Консоль із додатковою опорою, рівномірне навантаження

$L = 6$ м, $q = 12$ кН/м. Вузол 1 Dx + Dz + Ry, вузол 2 Dz.

Величина	Формула	Значення
Реакція в защемленні	$5qL/8$	45 кН
Реакція на шарнірно-рухомій опорі	$3qL/8$	27 кН
Момент у защемленні	$qL^2/8$	54 кНм (від'ємний)
Макс. додатний момент	$9qL^2/128$ при $x = 5L/8$ від защемлення	30,4 кНм на відстані 3,75 м

Застосунок автоматично підписує локальний екстремум, тож можна зчитати і значення, і (за положенням уздовж елемента) місце, де він виникає.

Ферма з двох стрижнів

Два стрижні від шарнірно-нерухомих опор у точках (0, 0) і (4, 0) сходяться у вузлі (2, −2) (вершина на 2 м вище), в обох стрижнів позначено обидва кінцеві шарніри, у вершині прикладено вертикальну силу $F = 20$ кН (униз, тобто Fz = 20).

Кожен стрижень нахилений під 45°, довжина $L = 2\sqrt{2}$ м. За симетрією кожен несе

N = -\frac{F}{2 \sin 45^\circ} = -14.14\ \text{кН (стиск)}

а на кожну опору припадає 10 кН по вертикалі та ±10 кН по горизонталі. Перевірте шар N (x) і реакції.

Температурний градієнт на шарнірно обпертій балці

$L = 8$ м, $\Delta T_b - \Delta T_t = -10$ K (верх тепліший), $\alpha = 12 \times 10^{-6}$, $h = 0{,}2$ м.

Балка може вільно викривлятися, тому внутрішніх зусиль немає; кривина дорівнює

\kappa = \frac{\alpha\,(\Delta T_b - \Delta T_t)}{h} = \frac{12 \times 10^{-6} \cdot (-10)}{0.2} = -6 \times 10^{-4}\ \text{м}^{-1}

а прогин посередині прольоту — $\kappa L^2 / 8 = -4{,}8$ мм (угору). Тепер закріпіть Ry на обох кінцях: кривина заблокована, і по всьому прольоту виникає сталий момент $M = EI\kappa = 2{,}45$ кНм.

Задане переміщення

Візьміть консоль із додатковою опорою без навантаження й задайте Dz = 10 мм на шарнірно-рухомій опорі (осідання). Реакція, потрібна, щоб опустити кінець консолі на $w$, дорівнює $R = 3EIw/L^3 = 0{,}567$ кН, а момент у защемленні — $RL = 3{,}40$ кНм. Поверніть рівномірне навантаження — результати лінійно накладаються.

Поради для власних перевірок

• Тримайте чип одиниць у полі зору; більшість розбіжностей — це помилки з одиницями.
• Використовуйте вікно Матриця жорсткості, щоб порівняти один елемент із теоретичним посібником, вивчаючи метод переміщень (метод прямої жорсткості).
• Точні числа зчитуйте з вкладки Результати та підказок при наведенні, а не з підписів на епюрах, які округлені.
• Використовуйте Поділитися моделлю, щоб передати перевірену модель колезі чи викладачеві.