教程：平面桁架

本教程建立一个小型静定桁架，用节点法和截面法核对杆件内力，并找出一根零杆。大约需要 15 分钟。

如果只想自己探索，可以打开完成的模型。

问题描述

跨度 12 m，分为三个 4 m 的节间，高 3 m。
下弦节点 1–4，上弦节点 5 和 6。
节点 1 为固定铰支座，节点 4 为滑动铰支座。
下弦节点 2 和 3 处各作用一个 30 kN 的荷载。
钢杆件， $A = 20$ cm²。

节点	X [m]	Z [m]	支座	荷载
1	0	0	固定铰支座
2	4	0		`Fz = 30` kN
3	8	0		`Fz = 30` kN
4	12	0	滑动铰支座
5	4	−3
6	8	−3

杆件：下弦 1–2、2–3、3–4；上弦 5–6；端斜杆 1–5 和 6–4；竖杆 2–5 和 3–6；以及中间斜杆 5–3。

是否静定？ $m + r = 9 + 3 = 12 = 2j$ ，其中节点数 $j = 6$ ，所以是静定的：杆件内力仅由平衡条件即可求得。

1. 材料和截面

清空结构（勾选删除材料和删除截面）。
材料 → 材料库 → Steel (S235)。
截面 → 添加截面：面积 = 0.002、Iy = 1e-6、高度 = 0.1、剪切系数 = 1。对于铰接杆件，只有面积起作用。

2. 绘制带铰的杆件

在 EduBeam 中，桁架杆就是勾选了两端端部铰接的梁单元。鼠标工具可以帮你自动设置：

单元标签页 → 第二个添加单元按钮（光标图标）。
在视图顶部的横幅中勾选起点铰接和终点铰接。此后画出的每根杆件两端都会带铰。
用一条连续折线画出外轮廓：依次点击 (0, 0)、(4, −3)、(8, −3)、(12, 0)，然后沿下弦返回：(8, 0)、(4, 0)、(0, 0)。按 Esc。
逐根绘制内部杆件，每画完一根按一次 Esc：(4, 0) → (4, −3)、(4, −3) → (8, 0)、(8, 0) → (8, −3)。
按 F 适配屏幕。

检查单元表格：九个单元，每个都勾选了两个端部铰接。你的节点和单元编号可能与图中不同，这没有关系。

3. 支座和荷载

点击 (0, 0) 处的节点 → 节点支座 → 固定铰支座。点击 (12, 0) 处的节点 → 滑动铰支座。
点击 (4, 0) 处的节点 → 添加荷载 → Fz = 30 kN。在 (8, 0) 处做同样操作。

正的 Fz 指向下。桁架的节点可以自由转动；EduBeam 允许所有杆件都铰接于其上的节点，并将其转角报告为 0。

4. 结果

在显示选项中取消勾选变形图和 M_y (x)（桁架中没有弯曲），并勾选 N (x)。

5. 手算核对

支反力。 荷载对称，因此 $R_1 = R_4 = 30$ kN（向上），固定铰支座处的水平支反力为零。

节点 1（节点法）。端斜杆 1–5 长 5 m（ $\sin\alpha = 3/5$ ， $\cos\alpha = 4/5$ ）：

$\sum F_z:\ N_{15} \cdot \tfrac{3}{5} = -30 \Rightarrow N_{15} = -50\ \text{kN} \qquad \sum F_x:\ N_{12} = -N_{15} \cdot \tfrac{4}{5} = 40\ \text{kN}$

节点 2。 竖杆 2–5 是唯一能把 30 kN 荷载向上传递的杆件： $N_{25} = +30$ kN，且 $N_{23} = N_{12} = 40$ kN。

截取中间节间。 截断杆件 5–6、5–3 和 2–3，保留左侧部分：

对节点 3 取矩： $R_1 \cdot 8 - 30 \cdot 4 + N_{56} \cdot 3 = 0 \Rightarrow N_{56} = -40$ kN。
竖向力：该节间的剪力为 $R_1 - 30 = 0$ ，因此斜杆 5–3 不受力： $N_{53} = 0$ 。

杆件	手算值	EduBeam
下弦 1–2、2–3、3–4	+40 kN（受拉）	40
上弦 5–6	−40 kN（受压）	−40
端斜杆 1–5、6–4	−50 kN	−50
竖杆 2–5、3–6	+30 kN	30
中间斜杆 5–3	0	0

节点 2 的挠度为 2.29 mm（结果 → 节点结果）。作为练习，用虚功原理 $\delta = \sum N n L / (EA)$ 计算它。

6. 动手试试

移动一个荷载。 把两个 30 kN 荷载都放在节点 2。中间斜杆现在受力了：是什么符号，为什么？
删除中间斜杆。 桁架变为机构；EduBeam 会圈出出问题的铰，并显示该节间如何发生剪切错动。
取消所有铰。 桁架变为刚接节点的框架。勾选 M_y (x)：与轴力相比，弯矩非常小，这就是铰接理想化之所以成立的原因。
把两个支座都设为固定铰支座。 多一个支反力使结构变为超静定，下弦内力此时取决于杆件面积。

教程：平面桁架 ​

问题描述 ​

1. 材料和截面 ​

2. 绘制带铰的杆件 ​

3. 支座和荷载 ​

4. 结果 ​

5. 手算核对 ​

6. 动手试试 ​