परिणामों की हाथ से जाँच

EduBeam उस आदत का अभ्यास करने की अच्छी जगह है जो हर इंजीनियर को चाहिए: ऐसी किसी संख्या पर भरोसा न करें जिसे आप मोटे तौर पर स्वयं न निकाल सकें। यह पृष्ठ क्लासिक प्रकरणों के लिए बंद-रूप (closed-form) सूत्र देता है और दिखाता है कि ऐप उनके लिए क्या रिपोर्ट करता है, ताकि आप हर मॉडल खुद बनाकर तुलना कर सकें।

जब तक अन्यथा न कहा जाए, सभी प्रकरणों में वही इस्पात काट है: $E = 210\,000$ MPa, $G = 81\,000$ MPa, $A = 28.5$ cm², $I_y = 1943$ cm⁴, $h = 200$ mm, $k = 1$ (एक IPE 200)।

$EI = 210 \times 10^9 \cdot 1.943 \times 10^{-5} = 4.080 \times 10^6\ \text{Nm}^2$

संख्याएँ थोड़ी भिन्न क्यों हैं

EduBeam Timoshenko बीम का उपयोग करता है, जो क्लासिक Euler–Bernoulli बंकन विक्षेप में एक अपरूपण विक्षेप $\Delta w_s$ जोड़ते हैं। स्थैतिक निर्धार्य (statically determinate) प्रकरणों में घूर्णन, प्रतिक्रियाएँ और आंतरिक बल अप्रभावित रहते हैं। पतले सदस्यों के लिए अतिरिक्त पद बहुत छोटा है; नीचे की तालिकाएँ इसे स्पष्ट रूप से दिखाती हैं।

सरल आलंबित बीम, समान वितरित भार

$L = 6$ m, $q = 12$ kN/m। आधार: नोड 1 Dx + Dz, नोड 2 Dz।

राशि	सूत्र	मान	EduBeam
प्रतिक्रियाएँ	$qL/2$	36 kN	36 kN
$V_{max}$	$qL/2$	36 kN	36 kN
$M_{max}$ (मध्य-स्पैन)	$qL^2/8$	54 kNm	54 kNm
सिरे का घूर्णन	$qL^3/(24EI)$	0.02647 rad	0.02647 rad
मध्य-स्पैन विक्षेप	$5qL^4/(384EI)$	49.63 mm	49.63 mm

कैंटिलीवर, सिरे पर भार

$L = 4$ m, मुक्त सिरे पर नीचे की ओर $F = 18$ kN। आधार: नोड 1 Dx + Dz + Ry।

राशि	सूत्र	मान	EduBeam
ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया	$F$	18 kN	18 kN
जड़न आघूर्ण (fixing moment)	$FL$	72 kNm	72 kNm
सिरे का घूर्णन	$FL^2/(2EI)$	0.03529 rad	0.03529 rad
सिरे का विक्षेप (बंकन)	$FL^3/(3EI)$	94.11 mm	—
सिरे का विक्षेप (अपरूपण)	$FL/(kGA)$	0.31 mm	—
सिरे का विक्षेप (कुल)	योग	94.42 mm	94.42 mm

यहाँ अपरूपण पद 0.3 % है। कैंटिलीवर को 1 m छोटा कर दें तो यह 5 % हो जाता है—अपरूपण गुणांक इसी के लिए है।

दोनों सिरों पर जड़ित बीम, समान वितरित भार

$L = 6$ m, $q = 12$ kN/m। दोनों नोड Dx + Dz + Ry।

राशि	सूत्र	मान
प्रतिक्रियाएँ	$qL/2$	36 kN
आधार आघूर्ण	$qL^2/12$	36 kNm (होगिंग)
मध्य-स्पैन आघूर्ण	$qL^2/24$	18 kNm (सैगिंग)
मध्य-स्पैन विक्षेप	$qL^4/(384EI)$	9.93 mm

इसे सरल आलंबित प्रकरण से दोनों नोडों पर Ry टिक करके बनाएँ और आघूर्ण आरेख को खिसकते देखें।

प्रॉप्ड कैंटिलीवर, समान वितरित भार

$L = 6$ m, $q = 12$ kN/m। नोड 1 Dx + Dz + Ry, नोड 2 Dz।

राशि	सूत्र	मान
जड़ित सिरे पर प्रतिक्रिया	$5qL/8$	45 kN
रोलर पर प्रतिक्रिया	$3qL/8$	27 kN
जड़न आघूर्ण	$qL^2/8$	54 kNm (होगिंग)
अधिकतम सैगिंग आघूर्ण	$9qL^2/128$, जड़ित सिरे से $x = 5L/8$ पर	30.4 kNm, 3.75 m पर

ऐप स्थानीय चरम को स्वतः लेबल करता है, इसलिए आप मान और (अवयव पर स्थिति से) उसका स्थान दोनों पढ़ सकते हैं।

दो-बार ट्रस

(0, 0) और (4, 0) पर कीलकित आधारों से दो बार (2, −2) (शीर्ष 2 m ऊपर) पर मिलते हैं, दोनों बारों पर दोनों End hinges टिक किए गए, शीर्ष पर ऊर्ध्वाधर भार $F = 20$ kN (नीचे की ओर, यानी Fz = 20)।

हर बार 45° पर है, लंबाई $L = 2\sqrt{2}$ m। सममिति से हर बार वहन करता है

$N = -\frac{F}{2 \sin 45^\circ} = -14.14\ \text{kN (compression)}$

और हर आधार 10 kN ऊर्ध्वाधर तथा ±10 kN क्षैतिज लेता है। N (x) ओवरले और प्रतिक्रियाएँ जाँचें।

सरल आलंबित बीम पर तापीय प्रवणता

$L = 8$ m, $\Delta T_b - \Delta T_t = -10$ K (ऊपर अधिक गर्म), $\alpha = 12 \times 10^{-6}$, $h = 0.2$ m।

बीम मुक्त रूप से वक्र हो सकता है, इसलिए कोई आंतरिक बल नहीं हैं; वक्रता है

$\kappa = \frac{\alpha\,(\Delta T_b - \Delta T_t)}{h} = \frac{12 \times 10^{-6} \cdot (-10)}{0.2} = -6 \times 10^{-4}\ \text{m}^{-1}$

और मध्य-स्पैन विक्षेप $\kappa L^2 / 8 = -4.8$ mm (ऊपर की ओर) है। अब दोनों सिरों पर Ry अवरुद्ध करें: वक्रता रुक जाती है और पूरे स्पैन पर एक स्थिर आघूर्ण $M = EI\kappa = 2.45$ kNm दिखाई देता है।

निर्धारित विस्थापन

प्रॉप्ड कैंटिलीवर को बिना भार के लें और रोलर पर Dz = 10 mm निर्धारित करें (आधार निपात / settlement)। कैंटिलीवर के सिरे को $w$ जितना नीचे दबाने के लिए आवश्यक प्रतिक्रिया $R = 3EIw/L^3 = 0.567$ kN है और जड़न आघूर्ण $RL = 3.40$ kNm। समान वितरित भार वापस जोड़ें तो परिणाम रैखिक रूप से अध्यारोपित (superpose) हो जाते हैं।

अपनी जाँचों के लिए सुझाव

• इकाइयों की चिप को नज़र में रखें; अधिकांश विसंगतियाँ इकाई की चूक होती हैं।
• प्रत्यक्ष दृढ़ता विधि (direct stiffness method) सीखते समय किसी एक अवयव की तुलना सिद्धांत पुस्तिका से करने के लिए Stiffness matrix विंडो का उपयोग करें।
• सटीक संख्याएँ आरेख के लेबलों (जो गोल किए हुए हैं) की बजाय Results टैब और होवर टूलटिप से पढ़ें।
• जाँचा हुआ मॉडल किसी सहकर्मी या शिक्षक को देने के लिए Share model का उपयोग करें।