Ověření výsledků ručně

EduBeam je dobré místo, kde si osvojit návyk každého inženýra: nikdy nevěřit číslu, které neumíte alespoň přibližně reprodukovat. Tato stránka uvádí uzavřené vzorce pro klasické případy a to, co pro ně aplikace hlásí – každý model si tedy můžete postavit sami a porovnat.

Všechny případy používají stejný ocelový průřez, není-li uvedeno jinak: $E = 210\,000$ MPa, $G = 81\,000$ MPa, $A = 28{,}5$ cm², $I_y = 1943$ cm⁴, $h = 200$ mm, $k = 1$ (IPE 200).

$EI = 210 \times 10^9 \cdot 1{,}943 \times 10^{-5} = 4{,}080 \times 10^6\ \text{Nm}^2$

Proč se čísla nepatrně liší

EduBeam používá Timoshenkův nosník, který ke klasickému ohybovému průhybu Eulerova–Bernoulliho nosníku přidává smykový průhyb $\Delta w_s$. Pootočení, reakce a vnitřní síly to u staticky určitých případů neovlivní. U štíhlých prutů je dodatečný člen nepatrný; tabulky níže ho uvádějí explicitně.

Prostý nosník, spojité rovnoměrné zatížení

$L = 6$ m, $q = 12$ kN/m. Podpory: uzel 1 Dx + Dz, uzel 2 Dz.

Veličina	Vzorec	Hodnota	EduBeam
Reakce	$qL/2$	36 kN	36 kN
$V_{max}$	$qL/2$	36 kN	36 kN
$M_{max}$ (uprostřed)	$qL^2/8$	54 kNm	54 kNm
Pootočení v podpoře	$qL^3/(24EI)$	0,02647 rad	0,02647 rad
Průhyb uprostřed	$5qL^4/(384EI)$	49,63 mm	49,63 mm

Konzola, síla na konci

$L = 4$ m, $F = 18$ kN dolů na volném konci. Podpora: uzel 1 Dx + Dz + Ry.

Veličina	Vzorec	Hodnota	EduBeam
Svislá reakce	$F$	18 kN	18 kN
Moment ve vetknutí	$FL$	72 kNm	72 kNm
Pootočení konce	$FL^2/(2EI)$	0,03529 rad	0,03529 rad
Průhyb konce (ohyb)	$FL^3/(3EI)$	94,11 mm	—
Průhyb konce (smyk)	$FL/(kGA)$	0,31 mm	—
Průhyb konce (celkem)	součet	94,42 mm	94,42 mm

Smykový člen zde činí 0,3 %. Zkraťte konzolu na 1 m a bude to 5 % – právě k tomu slouží smykový součinitel.

Oboustranně vetknutý nosník, spojité rovnoměrné zatížení

$L = 6$ m, $q = 12$ kN/m. Oba uzly Dx + Dz + Ry.

Veličina	Vzorec	Hodnota
Reakce	$qL/2$	36 kN
Moment ve vetknutí	$qL^2/12$	36 kNm (záporný, tah nahoře)
Moment uprostřed	$qL^2/24$	18 kNm (kladný)
Průhyb uprostřed	$qL^4/(384EI)$	9,93 mm

Vytvořte ho z prostého nosníku zaškrtnutím Ry v obou uzlech a sledujte, jak se momentový průběh posune.

Jednostranně vetknutý nosník, spojité rovnoměrné zatížení

$L = 6$ m, $q = 12$ kN/m. Uzel 1 Dx + Dz + Ry, uzel 2 Dz.

Veličina	Vzorec	Hodnota
Reakce ve vetknutí	$5qL/8$	45 kN
Reakce v posuvném kloubu	$3qL/8$	27 kN
Moment ve vetknutí	$qL^2/8$	54 kNm (záporný)
Max. kladný moment	$9qL^2/128$ v $x = 5L/8$ od vetknutí	30,4 kNm v 3,75 m

Aplikace lokální extrém popisuje automaticky, takže odečtete hodnotu i (z polohy na prutu) místo, kde nastává.

Dvouprutová soustava

Dva pruty z pevných kloubů v (0, 0) a (4, 0) scházející se v (2, −2) (vrchol 2 m nad podporami), u obou prutů zaškrtnuty oba koncové klouby, svislá síla $F = 20$ kN ve vrcholu (dolů, tj. Fz = 20).

Každý prut svírá 45°, délka $L = 2\sqrt{2}$ m. Ze symetrie každý přenáší

$N = -\frac{F}{2 \sin 45^\circ} = -14{,}14\ \text{kN (tlak)}$

a každá podpora přebírá 10 kN svisle a ±10 kN vodorovně. Zkontrolujte vrstvu N (x) a reakce.

Nerovnoměrné oteplení prostého nosníku

$L = 8$ m, $\Delta T_d - \Delta T_h = -10$ K (teplejší horní vlákna), $\alpha = 12 \times 10^{-6}$, $h = 0{,}2$ m.

Nosník se může volně zakřivit, takže nevznikají vnitřní síly; křivost je

$\kappa = \frac{\alpha\,(\Delta T_d - \Delta T_h)}{h} = \frac{12 \times 10^{-6} \cdot (-10)}{0{,}2} = -6 \times 10^{-4}\ \text{m}^{-1}$

a průhyb uprostřed $\kappa L^2 / 8 = -4{,}8$ mm (vzhůru). Nyní odeberte Ry na obou koncích: křivost je zabráněno a po celém rozpětí se objeví konstantní moment $M = EI\kappa = 2{,}45$ kNm.

Předepsané posunutí

Vezměte jednostranně vetknutý nosník bez zatížení a předepište Dz = 10 mm v posuvném kloubu (pokles podpory). Reakce potřebná k zatlačení konce konzoly o $w$ je $R = 3EIw/L^3 = 0{,}567$ kN a moment ve vetknutí $RL = 3{,}40$ kNm. Přidejte zpět spojité zatížení a výsledky se lineárně superponují.

Tipy pro vlastní kontroly

• Mějte na očích štítek jednotek; většina nesrovnalostí jsou přehmaty v jednotkách.
• Okno Matice tuhosti použijte k porovnání jednoho prvku s teoretickým manuálem, když se učíte deformační metodu.
• Přesná čísla čtěte ze záložky Výsledky a z popisků po najetí myší, ne z popisků průběhů, které jsou zaokrouhlené.
• Zkontrolovaný model předejte kolegovi nebo vyučujícímu přes Sdílet konstrukci.