Ověření výsledků ručně

EduBeam je ideální místo, kde si osvojit návyk, bez kterého se žádný inženýr neobejde: nevěřit číslu, které nedokážete aspoň přibližně ověřit. Na této stránce najdete vzorce v uzavřeném tvaru pro klasické případy spolu s hodnotami, které hlásí aplikace. Každý model si tak můžete sestavit sami a výsledky porovnat.

Kompletně řešené příklady s ručním ověřením najdete v návodech trojkloubový rám a rovinná příhradová konstrukce.

Pokud není uvedeno jinak, mají všechny případy stejný ocelový průřez: $E = 210\,000$ MPa, $G = 81\,000$ MPa, $A = 28{,}5$ cm², $I_y = 1943$ cm⁴, $h = 200$ mm, $k = 1$ (IPE 200).

$EI = 210 \times 10^9 \cdot 1{,}943 \times 10^{-5} = 4{,}080 \times 10^6\ \text{Nm}^2$

Proč se čísla nepatrně liší

EduBeam používá Timoshenkovy nosníky, které ke klasickému ohybovému průhybu Eulerova–Bernoulliho nosníku přičítají smykový průhyb $\Delta w_s$. Na pootočení, reakce a vnitřní síly staticky určitých konstrukcí to vliv nemá. U štíhlých prutů je tento člen zanedbatelný; v tabulkách níže je uveden zvlášť.

Prostý nosník se spojitým rovnoměrným zatížením

$L = 6$ m, $q = 12$ kN/m. Podpory: uzel 1 Dx + Dz, uzel 2 Dz.

Veličina	Vzorec	Hodnota	EduBeam
Reakce	$qL/2$	36 kN	36 kN
$V_{max}$	$qL/2$	36 kN	36 kN
$M_{max}$ (uprostřed rozpětí)	$qL^2/8$	54 kNm	54 kNm
Pootočení v podpoře	$qL^3/(24EI)$	0,02647 rad	0,02647 rad
Průhyb uprostřed (ohyb)	$5qL^4/(384EI)$	49,63 mm	—
Průhyb uprostřed (smyk)	$qL^2/(8kGA)$	0,23 mm	—
Průhyb uprostřed (celkem)	součet	49,86 mm	49,86 mm

Průhyb uprostřed rozpětí odečtete, když tam přidáte uzel: Přidat uzel (myší) → Připojit ke konstrukci. Rozdělení prvku žádný výsledek nezmění.

Konzola se silou na konci

$L = 4$ m, $F = 18$ kN dolů na volném konci. Podpora: uzel 1 Dx + Dz + Ry.

Veličina	Vzorec	Hodnota	EduBeam
Svislá reakce	$F$	18 kN	18 kN
Moment ve vetknutí	$FL$	72 kNm	72 kNm
Pootočení konce	$FL^2/(2EI)$	0,03529 rad	0,03529 rad
Průhyb konce (ohyb)	$FL^3/(3EI)$	94,11 mm	—
Průhyb konce (smyk)	$FL/(kGA)$	0,31 mm	—
Průhyb konce (celkem)	součet	94,42 mm	94,42 mm

Smykový člen tu tvoří 0,3 %. Zkraťte konzolu na 1 m a vzroste na 5 % – právě v takových případech hraje smykový součinitel roli.

Oboustranně vetknutý nosník se spojitým rovnoměrným zatížením

$L = 6$ m, $q = 12$ kN/m. Oba uzly Dx + Dz + Ry.

Veličina	Vzorec	Hodnota
Reakce	$qL/2$	36 kN
Moment ve vetknutí	$qL^2/12$	36 kNm (záporný, tah nahoře)
Moment uprostřed rozpětí	$qL^2/24$	18 kNm (kladný)
Průhyb uprostřed	$qL^4/(384EI) + qL^2/(8kGA)$	9,93 + 0,23 = 10,16 mm

Stačí v prostém nosníku zaškrtnout Ry v obou uzlech a sledovat, jak se průběh momentu posune.

Jednostranně vetknutý nosník se spojitým rovnoměrným zatížením

$L = 6$ m, $q = 12$ kN/m. Uzel 1 Dx + Dz + Ry, uzel 2 Dz.

Veličina	Vzorec	Hodnota
Reakce ve vetknutí	$5qL/8$	45 kN
Reakce v posuvném kloubu	$3qL/8$	27 kN
Moment ve vetknutí	$qL^2/8$	54 kNm (záporný)
Max. kladný moment	$9qL^2/128$ v $x = 5L/8$ od vetknutí	30,4 kNm ve 3,75 m

Aplikace lokální extrém popíše automaticky, takže odečtete jeho hodnotu i polohu na prutu.

Dvouprutová soustava

Dva pruty vycházejí z pevných kloubových podpor v (0, 0) a (4, 0) a stýkají se v bodě (2, −2) (vrchol je 2 m nad podporami). Oba pruty mají zaškrtnuté oba koncové klouby a ve vrcholu působí svislá síla $F = 20$ kN (dolů, tj. Fz = 20).

Oba pruty jsou skloněné pod úhlem 45° a mají délku $L = 2\sqrt{2}$ m. Ze symetrie přenáší každý z nich

$N = -\frac{F}{2 \sin 45^\circ} = -14{,}14\ \text{kN (tlak)}$

a každá podpora přenáší 10 kN svisle a ±10 kN vodorovně. Zkontrolujte průběh N (x) a reakce.

Nerovnoměrné oteplení prostého nosníku

$L = 8$ m, $\Delta T_d - \Delta T_h = -10$ K (horní vlákna teplejší), $\alpha = 12 \times 10^{-6}$, $h = 0{,}2$ m.

Nosník se může volně zakřivit, takže nevznikají žádné vnitřní síly. Křivost je

$\kappa = \frac{\alpha\,(\Delta T_d - \Delta T_h)}{h} = \frac{12 \times 10^{-6} \cdot (-10)}{0{,}2} = -6 \times 10^{-4}\ \text{m}^{-1}$

a průhyb uprostřed rozpětí je $\kappa L^2 / 8 = -4{,}8$ mm (vzhůru). Teď na obou koncích podepřete Ry: nosník se nemůže zakřivit a po celém rozpětí vznikne konstantní moment $M = EI\kappa = 2{,}45$ kNm.

Předepsané posunutí

Vezměte jednostranně vetknutý nosník bez zatížení a v posuvném kloubu předepište Dz = 10 mm (pokles podpory). Reakce, která konec nosníku posune o $w$, je $R = 3EIw/L^3 = 0{,}567$ kN a moment ve vetknutí je $RL = 3{,}40$ kNm. Když spojité zatížení vrátíte, výsledky se lineárně sečtou (superpozice).

Tipy pro vlastní kontrolu

• Sledujte štítek jednotek; většina nesrovnalostí vzniká chybou v jednotkách.
• Když se učíte deformační metodu, porovnejte v okně Matice tuhosti jeden prvek s teoretickým manuálem.
• Přesné hodnoty čtěte v záložce Výsledky a v popiscích po najetí myší, ne z popisků průběhů, které jsou zaokrouhlené. Přes Exportovat CSV nebo Kopírovat v záložce Výsledky získáte i reakce, připravené pro tabulkový procesor.
• V Nastavení přepněte Formát čísel na Automatický, abyste viděli 40 místo 4 · 10¹.
• Ověřený model pošlete kolegovi nebo vyučujícímu přes Sdílet konstrukci.