Покроковий приклад: плоска ферма

У цьому прикладі ви побудуєте невелику статично визначувану ферму, перевірите зусилля в стрижнях методом вирізання вузлів і методом перерізів та знайдете нульовий стрижень. Розраховуйте приблизно на 15 хвилин.

Готова ферма: поздовжні сили й реакції

Відкрийте готову модель, якщо хочете її лише дослідити.

Задача

Геометрія, опори та навантаження

• Проліт 12 m із трьох панелей по 4 m, висота 3 m.
• Вузли нижнього пояса 1–4, вузли верхнього пояса 5 і 6.
• Шарнірно-нерухома опора у вузлі 1 і шарнірно-рухома у вузлі 4.
• Два навантаження по 30 kN у вузлах нижнього пояса 2 і 3.
• Сталеві стрижні з $A = 20$ cm².

Вузол	X [m]	Z [m]	Опора	Навантаження
1	0	0	шарнір
2	4	0		Fz = 30 kN
3	8	0		Fz = 30 kN
4	12	0	рухомий шарнір
5	4	−3
6	8	−3

Стрижні: нижній пояс 1–2, 2–3, 3–4; верхній пояс 5–6; крайні розкоси 1–5 і 6–4; стояки 2–5 і 3–6; середній розкіс 5–3.

Чи вона статично визначувана? $m + r = 9 + 3 = 12 = 2j$ при $j = 6$ вузлах, тож так: зусилля в стрижнях випливають лише з рівноваги.

1. Матеріал і переріз

1. Очистити модель (позначте Видалити матеріали та Видалити перерізи).
2. Матеріали → Бібліотека матеріалів → Steel (S235).
3. Перерізи → Додати переріз: Площа = 0.002, Iy = 1e-6, Висота = 0.1, Коефіцієнт зсуву = 1. Для шарнірних стрижнів важить лише площа.

2. Накресліть стрижні із шарнірами

Стрижень ферми в EduBeam — це балковий елемент, у якого позначено обидва кінцеві шарніри. Інструмент для миші може задати їх за вас:

1. Вкладка Елементи → друга кнопка Додати елемент (значок курсора).
2. На панелі вгорі вікна перегляду позначте Шарнір на початку і Шарнір у кінці. Кожен стрижень, який ви тепер накреслите, отримає обидва.
3. Накресліть контур однією ламаною: клацніть (0, 0), (4, −3), (8, −3), (12, 0), а потім назад уздовж низу: (8, 0), (4, 0), (0, 0). Натисніть Esc.
4. Накресліть внутрішні стрижні по одному, натискаючи Esc після кожного: (4, 0) → (4, −3), (4, −3) → (8, 0), (8, 0) → (8, −3).
5. Натисніть F, щоб вписати модель в екран.

Перевірте таблицю Елементи: дев'ять елементів, у кожного позначено обидва Кінцеві шарніри. Номери ваших вузлів і елементів можуть відрізнятися від рисунків; це не має значення.

3. Опори та навантаження

1. Клацніть вузол у точці (0, 0) → Опори вузла → Шарнір. Клацніть вузол у точці (12, 0) → Рухомий шарнір.
2. Клацніть вузол у точці (4, 0) → Додати навантаження → Fz = 30 kN. Те саме зробіть у точці (8, 0).

Додатне Fz спрямоване вниз. Вузли ферми можуть вільно повертатися; EduBeam приймає вузли, у яких усі стрижні мають шарніри, і показує їхній поворот як 0.

4. Результати

У налаштуваннях відображення зніміть позначки Деформована форма і M_y (x) (у фермі немає згину) та позначте N (x).

Поздовжні сили: розтяг додатний

5. Перевірте вручну

Реакції. Навантаження симетричні, тож $R_1 = R_4 = 30$ kN угору, а горизонтальна реакція в шарнірно-нерухомій опорі дорівнює нулю.

Вузол 1 (метод вирізання вузлів). Крайній розкіс 1–5 має довжину 5 m ($\sin\alpha = 3/5$, $\cos\alpha = 4/5$):

$\sum F_z:\ N_{15} \cdot \tfrac{3}{5} = -30 \Rightarrow N_{15} = -50\ \text{kN} \qquad \sum F_x:\ N_{12} = -N_{15} \cdot \tfrac{4}{5} = 40\ \text{kN}$

Вузол 2. Стояк 2–5 — єдиний стрижень, який може передати навантаження 30 kN угору: $N_{25} = +30$ kN, а $N_{23} = N_{12} = 40$ kN.

Переріз через середню панель. Розріжте стрижні 5–6, 5–3 і 2–3 й залиште ліву частину:

• Моменти відносно вузла 3: $R_1 \cdot 8 - 30 \cdot 4 + N_{56} \cdot 3 = 0 \Rightarrow N_{56} = -40$ kN.
• Вертикальні сили: поперечна сила в панелі $R_1 - 30 = 0$, тож розкіс 5–3 нічого не несе: $N_{53} = 0$.

Стрижень	Ручний розрахунок	EduBeam
Нижній пояс 1–2, 2–3, 3–4	+40 kN (розтяг)	40
Верхній пояс 5–6	−40 kN (стиск)	−40
Крайні розкоси 1–5, 6–4	−50 kN	−50
Стояки 2–5, 3–6	+30 kN	30
Середній розкіс 5–3	0	0

Прогин вузла 2 становить 2,29 mm (Результати → Вузлові результати). Як вправу обчисліть його методом можливих переміщень, $\delta = \sum N n L / (EA)$.

6. Експериментуйте

• Перемістіть одне навантаження. Прикладіть обидва навантаження по 30 kN у вузлі 2. Тепер середній розкіс несе зусилля: якого знака і чому?
• Видаліть середній розкіс. Ферма стає механізмом; EduBeam обводить винні шарніри й показує, як панель перекошується.
• Зніміть усі шарніри. Ферма стає рамою з жорсткими вузлами. Позначте M_y (x): згинальні моменти мізерні порівняно з поздовжніми силами, і саме тому ідеалізація з шарнірними вузлами працює.
• Зробіть обидві опори шарнірно-нерухомими. Ще одна реакція робить ферму статично невизначуваною, і зусилля в нижньому поясі тепер залежать від площ стрижнів.