Балковий елемент

Єдиний елемент у EduBeam — двовузлова балка Тимошенка у площині x–z. Порівняно з класичною балкою Ейлера–Бернуллі вона додає деформацію зсуву, яка істотна для високих або коротких стрижнів і зникає для гнучких. Правила знаків зведено на сторінці правил знаків.

Схема плоскої балки Тимошенка

Ступені вільності

Плоска балка Тимошенка з трьома ступенями вільності в кожному вузлі:

• Переміщення (Dx): переміщення вздовж осі X.
• Переміщення (Dz): переміщення вздовж осі Z.
• Поворот (Ry): поворот навколо осі Y.

Навантаження задаються в напрямках ступенів вільності:

• Горизонтальна сила (Fx): сила вздовж осі X.
• Вертикальна сила (Fz): сила вздовж осі Z.
• Момент (My): момент навколо осі Y.

Локальна матриця жорсткості

Матриця жорсткості балки в локальних координатах має вигляд:

$\mathbf{K_l} = \begin{pmatrix} \frac{EA}{L} & 0 & 0 & -\frac{EA}{L} & 0 & 0 & \\[2ex] 0 & \frac{12 EI_y}{ L^3 (1+\varphi)} & \frac{-6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & 0 & \frac{-12 EI_y}{L^3 (1+\varphi)} & \frac{-6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} &\\[3ex] 0 & \frac{-6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & \frac{(4 + \varphi) EI_y}{L (1+\varphi)} & 0 & \frac{6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & \frac{(2 - \varphi) EI_y}{L (1+\varphi)} &\\[2ex] -\frac{EA}{L} & 0 & 0 & \frac{EA}{L} & 0 & 0 &\\[2ex] 0 & \frac{-12 EI_y}{L^3 (1+\varphi)} & \frac{6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & 0 & \frac{12 EI_y}{ L^3 (1+\varphi)} & \frac{6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} &\\[3ex] 0 & \frac{-6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & \frac{(2 - \varphi) EI_y}{L (1+\varphi)} & 0 & \frac{6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & \frac{(4 + \varphi) EI_y}{L (1+\varphi)} \end{pmatrix}$

де:

• $E$ — модуль Юнга матеріалу
• $A$ — площа поперечного перерізу балки
• $L$ — довжина балки
• $I_y$ — момент інерції перерізу відносно осі y
• $\varphi$ — безрозмірний параметр зсувної податливості

$\varphi = \frac{12\,E I_y}{k\,G\,A\,L^2}$

де $G$ — модуль зсуву, а $k$ — коефіцієнт зсуву перерізу (ефективна площа зсуву $kA$). При $\varphi \to 0$ (гнучка балка або дуже велике $k$) матриця зводиться до матриці жорсткості балки Ейлера–Бернуллі.

Кінцеві шарніри

Шарнір на кінці елемента звільняє відповідний поворотний ступінь вільності: поворот виключається з матриці 6 × 6 (статична конденсація, $M = 0$ на цьому кінці), і елемент збирається з рештою ступенів вільності. Коли звільнено обидва кінці, залишаються лише поздовжні члени, і елемент поводиться як стрижень ферми.

Навантаження на елемент

Розподілені, зосереджені й температурні навантаження перетворюються на еквівалентні вузлові навантаження $\mathbf{f}_{eq}$ (реакції защемлення зі зворотним знаком) і додаються до глобального вектора навантажень. Після розв'язання внутрішні зусилля вздовж елемента відновлюються з кінцевих переміщень плюс точного частинного розв'язку для навантаження на елемент, тож епюри вздовж стрижня точні.

Матриця перетворення

Матриця перетворення елемента $\mathbf{T}$ використовується для переведення локальної матриці жорсткості в глобальну систему координат.

$\mathbf{T} = \begin{pmatrix} \cos(\alpha) & \sin(\alpha) & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -\sin(\alpha) & \cos(\alpha) & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cos(\alpha) & \sin(\alpha) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -\sin(\alpha) & \cos(\alpha) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Глобальна матриця жорсткості

Глобальна матриця жорсткості $\mathbf{K_g}$ отримується множенням матриці перетворення елемента $\mathbf{T}$ на локальну матрицю жорсткості $\mathbf{K_l}$:

$\mathbf{K_g} = \mathbf{T}^\mathsf{T} \cdot \mathbf{K_l} \cdot \mathbf{T}$