Елемент ферми

Елемент ферми сприймає лише поздовжню силу. В EduBeam немає окремого типу елемента ферми: стрижень ферми — це балковий елемент з позначеними обома кінцевими шарнірами, що виключає згинальні члени й залишає наведену нижче поздовжню жорсткість.

Схема плоского елемента ферми

Ступені вільності

Плоский елемент ферми має два ступені вільності в кожному з вузлів:

• Переміщення (Dx): переміщення вздовж осі X.
• Переміщення (Dz): переміщення вздовж осі Z.

Локальна матриця жорсткості

Локальна матриця жорсткості елемента ферми має вигляд:

$\mathbf{K_l} = \begin{pmatrix} \frac{EA}{L} & 0 & -\frac{EA}{L} & 0 \\[2ex] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1ex] -\frac{EA}{L} & 0 & \frac{EA}{L} & 0 \\[2ex] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

де:

• $E$ — модуль Юнга матеріалу
• $A$ — площа поперечного перерізу стрижня
• $L$ — довжина стрижня

Матриця перетворення

Матриця перетворення елемента $\mathbf{T}$ використовується для переведення локальної матриці жорсткості в глобальну систему координат.

$\mathbf{T} = \begin{pmatrix} \cos(\alpha) & \sin(\alpha) & 0 & 0 \\ -\sin(\alpha) & \cos(\alpha) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cos(\alpha) & \sin(\alpha) \\ 0 & 0 & -\sin(\alpha) & \cos(\alpha) \end{pmatrix}$

Глобальна матриця жорсткості

Глобальна матриця жорсткості $\mathbf{K_g}$ отримується множенням матриці перетворення елемента $\mathbf{T}$ на локальну матрицю жорсткості $\mathbf{K_l}$:

$\mathbf{K_g} = \mathbf{T}^\mathsf{T} \cdot \mathbf{K_l} \cdot \mathbf{T}$

У результаті множення отримуємо:

$\mathbf{K_g}={ {EA}\over{l}}\left[\begin{array}{cccc} c^2&cs&-c^2&-cs\\ cs&s^2&-cs& -s^2\\ -c^2&-cs&c^2&cs\\ -cs&-s^2&cs&s^2 \end{array}\right];\;\;\begin{array}{c}c=\cos(\alpha)\\s=\sin(\alpha)\end{array}$