Элемент фермы

Элемент фермы воспринимает только продольную силу. В EduBeam отдельного типа элемента фермы нет: стержень фермы — это элемент балки с отмеченными обоими концевыми шарнирами, что исключает изгибные члены и оставляет приведённую ниже продольную жёсткость.

Схема 2D-элемента фермы

Степени свободы

2D-элемент фермы имеет две степени свободы в каждом из узлов:

• Перемещение (Dx): перемещение вдоль оси X.
• Перемещение (Dz): перемещение вдоль оси Z.

Локальная матрица жёсткости

Локальная матрица жёсткости элемента фермы имеет вид:

$\mathbf{K_l} = \begin{pmatrix} \frac{EA}{L} & 0 & -\frac{EA}{L} & 0 \\[2ex] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1ex] -\frac{EA}{L} & 0 & \frac{EA}{L} & 0 \\[2ex] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

где:

• $E$ — модуль Юнга материала
• $A$ — площадь поперечного сечения стержня
• $L$ — длина стержня

Матрица преобразования

Матрица преобразования элемента $\mathbf{T}$ служит для перевода локальной матрицы жёсткости в глобальную систему координат.

$\mathbf{T} = \begin{pmatrix} \cos(\alpha) & \sin(\alpha) & 0 & 0 \\ -\sin(\alpha) & \cos(\alpha) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cos(\alpha) & \sin(\alpha) \\ 0 & 0 & -\sin(\alpha) & \cos(\alpha) \end{pmatrix}$

Глобальная матрица жёсткости

Глобальная матрица жёсткости $\mathbf{K_g}$ получается умножением матрицы преобразования элемента $\mathbf{T}$ на локальную матрицу жёсткости $\mathbf{K_l}$:

$\mathbf{K_g} = \mathbf{T}^\mathsf{T} \cdot \mathbf{K_l} \cdot \mathbf{T}$

В результате умножения получается:

$\mathbf{K_g}={ {EA}\over{l}}\left[\begin{array}{cccc} c^2&cs&-c^2&-cs\\ cs&s^2&-cs& -s^2\\ -c^2&-cs&c^2&cs\\ -cs&-s^2&cs&s^2 \end{array}\right];\;\;\begin{array}{c}c=\cos(\alpha)\\s=\sin(\alpha)\end{array}$