Fachwerkstab

Ein Fachwerkstab überträgt nur Normalkraft. In EduBeam gibt es keinen eigenen Fachwerk-Elementtyp: ein Fachwerkstab ist ein Balkenelement mit beiden Endgelenken angehakt, wodurch die Biegeterme herauskondensiert werden und die unten stehende Dehnsteifigkeit übrig bleibt.

Schema des ebenen Fachwerkstabs

Freiheitsgrade

Der ebene Fachwerkstab hat an jedem Knoten zwei Freiheitsgrade:

• Verschiebung (Dx): Verschiebung entlang der x-Achse.
• Verschiebung (Dz): Verschiebung entlang der z-Achse.

Lokale Steifigkeitsmatrix

Die lokale Steifigkeitsmatrix des Fachwerkstabs lautet

$\mathbf{K_l} = \begin{pmatrix} \frac{EA}{L} & 0 & -\frac{EA}{L} & 0 \\[2ex] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1ex] -\frac{EA}{L} & 0 & \frac{EA}{L} & 0 \\[2ex] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

mit

• $E$ dem Elastizitätsmodul des Materials,
• $A$ der Querschnittsfläche,
• $L$ der Stablänge.

Transformationsmatrix

Die Transformationsmatrix $\mathbf{T}$ des Elements überführt die lokale Steifigkeitsmatrix in das globale Koordinatensystem.

$\mathbf{T} = \begin{pmatrix} \cos(\alpha) & \sin(\alpha) & 0 & 0 \\ -\sin(\alpha) & \cos(\alpha) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cos(\alpha) & \sin(\alpha) \\ 0 & 0 & -\sin(\alpha) & \cos(\alpha) \end{pmatrix}$

Globale Steifigkeitsmatrix

Die globale Steifigkeitsmatrix $\mathbf{K_g}$ ergibt sich aus der Transformationsmatrix $\mathbf{T}$ und der lokalen Steifigkeitsmatrix $\mathbf{K_l}$:

$\mathbf{K_g} = \mathbf{T}^\mathsf{T} \cdot \mathbf{K_l} \cdot \mathbf{T}$

Ausmultipliziert ergibt sich

$\mathbf{K_g}={ {EA}\over{l}}\left[\begin{array}{cccc} c^2&cs&-c^2&-cs\\ cs&s^2&-cs& -s^2\\ -c^2&-cs&c^2&cs\\ -cs&-s^2&cs&s^2 \end{array}\right];\;\;\begin{array}{c}c=\cos(\alpha)\\s=\sin(\alpha)\end{array}$