Element kratownicy

Element kratownicy przenosi wyłącznie siłę podłużną. W EduBeam nie ma osobnego typu elementu kratownicowego: pręt kratownicy to element belkowy z zaznaczonymi oboma przegubami końcowymi, co eliminuje człony giętne i pozostawia poniższą sztywność podłużną.

Schemat płaskiego elementu kratownicy

Stopnie swobody

Płaski element kratownicy ma dwa stopnie swobody w każdym z węzłów:

• Przesunięcie (Dx): przemieszczenie wzdłuż osi X.
• Przesunięcie (Dz): przemieszczenie wzdłuż osi Z.

Lokalna macierz sztywności

Lokalna macierz sztywności elementu kratownicy ma postać:

$\mathbf{K_l} = \begin{pmatrix} \frac{EA}{L} & 0 & -\frac{EA}{L} & 0 \\[2ex] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1ex] -\frac{EA}{L} & 0 & \frac{EA}{L} & 0 \\[2ex] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

gdzie:

• $E$ — moduł Younga materiału
• $A$ — pole przekroju poprzecznego pręta
• $L$ — długość pręta

Macierz transformacji

Macierz transformacji elementu $\mathbf{T}$ służy do przekształcenia lokalnej macierzy sztywności do globalnego układu współrzędnych.

$\mathbf{T} = \begin{pmatrix} \cos(\alpha) & \sin(\alpha) & 0 & 0 \\ -\sin(\alpha) & \cos(\alpha) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cos(\alpha) & \sin(\alpha) \\ 0 & 0 & -\sin(\alpha) & \cos(\alpha) \end{pmatrix}$

Globalna macierz sztywności

Globalną macierz sztywności $\mathbf{K_g}$ otrzymuje się przez pomnożenie macierzy transformacji elementu $\mathbf{T}$ i lokalnej macierzy sztywności $\mathbf{K_l}$:

$\mathbf{K_g} = \mathbf{T}^\mathsf{T} \cdot \mathbf{K_l} \cdot \mathbf{T}$

Wynikiem mnożenia jest:

$\mathbf{K_g}={ {EA}\over{l}}\left[\begin{array}{cccc} c^2&cs&-c^2&-cs\\ cs&s^2&-cs& -s^2\\ -c^2&-cs&c^2&cs\\ -cs&-s^2&cs&s^2 \end{array}\right];\;\;\begin{array}{c}c=\cos(\alpha)\\s=\sin(\alpha)\end{array}$