Barre de treillis

Une barre de treillis ne transmet que l’effort normal. Dans EduBeam, il n’existe pas de type d’élément treillis distinct : une barre de treillis est un élément poutre dont les deux rotules d’extrémité sont cochées, ce qui condense les termes de flexion et ne laisse que la rigidité axiale ci-dessous.

Schéma de la barre de treillis 2D

Degrés de liberté

La barre de treillis 2D possède deux degrés de liberté en chaque nœud :

• Translation (Dx) : déplacement selon l’axe x.
• Translation (Dz) : déplacement selon l’axe z.

Matrice de rigidité locale

La matrice de rigidité locale d’une barre de treillis s’écrit

$\mathbf{K_l} = \begin{pmatrix} \frac{EA}{L} & 0 & -\frac{EA}{L} & 0 \\[2ex] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1ex] -\frac{EA}{L} & 0 & \frac{EA}{L} & 0 \\[2ex] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

où

• $E$ est le module d’Young du matériau,
• $A$ est l’aire de la section,
• $L$ est la longueur de la barre.

Matrice de passage

La matrice de passage de l’élément, $\mathbf{T}$, transforme la matrice de rigidité locale dans le repère global.

$\mathbf{T} = \begin{pmatrix} \cos(\alpha) & \sin(\alpha) & 0 & 0 \\ -\sin(\alpha) & \cos(\alpha) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cos(\alpha) & \sin(\alpha) \\ 0 & 0 & -\sin(\alpha) & \cos(\alpha) \end{pmatrix}$

Matrice de rigidité globale

La matrice de rigidité globale $\mathbf{K_g}$ s’obtient à partir de la matrice de passage $\mathbf{T}$ et de la matrice de rigidité locale $\mathbf{K_l}$ :

$\mathbf{K_g} = \mathbf{T}^\mathsf{T} \cdot \mathbf{K_l} \cdot \mathbf{T}$

Le produit donne :

$\mathbf{K_g}={ {EA}\over{l}}\left[\begin{array}{cccc} c^2&cs&-c^2&-cs\\ cs&s^2&-cs& -s^2\\ -c^2&-cs&c^2&cs\\ -cs&-s^2&cs&s^2 \end{array}\right];\;\;\begin{array}{c}c=\cos(\alpha)\\s=\sin(\alpha)\end{array}$