Element belkowy

Jedynym elementem w EduBeam jest dwuwęzłowa belka Timoshenki w płaszczyźnie x–z. W porównaniu z klasyczną belką Eulera–Bernoulliego uwzględnia ona odkształcenie postaciowe od ścinania, które ma znaczenie dla prętów wysokich lub krótkich, a zanika dla smukłych. Konwencje znaków zebrano na stronie konwencje.

Schemat płaskiej belki Timoshenki

Stopnie swobody

Płaska belka Timoshenki ma trzy stopnie swobody w każdym węźle:

• Przesunięcie (Dx): przemieszczenie wzdłuż osi X.
• Przesunięcie (Dz): przemieszczenie wzdłuż osi Z.
• Obrót (Ry): obrót wokół osi Y.

Obciążenia zadaje się w kierunkach stopni swobody:

• Siła pozioma (Fx): siła działająca wzdłuż osi X.
• Siła pionowa (Fz): siła działająca wzdłuż osi Z.
• Moment (My): moment działający wokół osi Y.

Lokalna macierz sztywności

Macierz sztywności belki w układzie lokalnym ma postać:

$\mathbf{K_l} = \begin{pmatrix} \frac{EA}{L} & 0 & 0 & -\frac{EA}{L} & 0 & 0 & \\[2ex] 0 & \frac{12 EI_y}{ L^3 (1+\varphi)} & \frac{-6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & 0 & \frac{-12 EI_y}{L^3 (1+\varphi)} & \frac{-6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} &\\[3ex] 0 & \frac{-6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & \frac{(4 + \varphi) EI_y}{L (1+\varphi)} & 0 & \frac{6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & \frac{(2 - \varphi) EI_y}{L (1+\varphi)} &\\[2ex] -\frac{EA}{L} & 0 & 0 & \frac{EA}{L} & 0 & 0 &\\[2ex] 0 & \frac{-12 EI_y}{L^3 (1+\varphi)} & \frac{6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & 0 & \frac{12 EI_y}{ L^3 (1+\varphi)} & \frac{6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} &\\[3ex] 0 & \frac{-6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & \frac{(2 - \varphi) EI_y}{L (1+\varphi)} & 0 & \frac{6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & \frac{(4 + \varphi) EI_y}{L (1+\varphi)} \end{pmatrix}$

gdzie:

• $E$ — moduł Younga materiału
• $A$ — pole przekroju poprzecznego belki
• $L$ — długość belki
• $I_y$ — moment bezwładności przekroju względem osi y
• $\varphi$ — bezwymiarowy parametr podatności na ścinanie

$\varphi = \frac{12\,E I_y}{k\,G\,A\,L^2}$

przy czym $G$ to moduł Kirchhoffa (ścinania), a $k$ — współczynnik ścinania przekroju (efektywne pole ścinania $kA$). Dla $\varphi \to 0$ (belka smukła lub bardzo duże $k$) macierz redukuje się do macierzy sztywności belki Eulera–Bernoulliego.

Przeguby końcowe

Przegub na końcu elementu zwalnia odpowiedni obrotowy stopień swobody: obrót jest wyeliminowany z macierzy 6 × 6 (kondensacja statyczna, $M = 0$ na tym końcu), a element jest agregowany z pozostałymi stopniami swobody. Przy zwolnieniu obu końców pozostają tylko człony osiowe i element zachowuje się jak pręt kratownicy.

Obciążenia elementów

Obciążenia rozłożone, skupione i termiczne są zamieniane na zastępcze obciążenia węzłowe $\mathbf{f}_{eq}$ (siły utwierdzenia ze znakiem przeciwnym) i dodawane do globalnego wektora obciążeń. Po rozwiązaniu siły przekrojowe wzdłuż elementu są odtwarzane z przemieszczeń końcowych oraz dokładnego rozwiązania szczególnego dla obciążenia elementu, dlatego wykresy są dokładne na całej długości pręta.

Macierz transformacji

Macierz transformacji elementu $\mathbf{T}$ służy do przekształcenia lokalnej macierzy sztywności do globalnego układu współrzędnych.

$\mathbf{T} = \begin{pmatrix} \cos(\alpha) & \sin(\alpha) & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -\sin(\alpha) & \cos(\alpha) & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cos(\alpha) & \sin(\alpha) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -\sin(\alpha) & \cos(\alpha) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Globalna macierz sztywności

Globalną macierz sztywności $\mathbf{K_g}$ otrzymuje się przez pomnożenie macierzy transformacji elementu $\mathbf{T}$ i lokalnej macierzy sztywności $\mathbf{K_l}$:

$\mathbf{K_g} = \mathbf{T}^\mathsf{T} \cdot \mathbf{K_l} \cdot \mathbf{T}$