Elemento viga

El único elemento de EduBeam es una viga de Timoshenko de dos nodos en el plano x–z. Frente a la viga clásica de Euler–Bernoulli añade la deformación por cortante, relevante en barras de gran canto o cortas y despreciable en las esbeltas. El convenio de signos se resume en la página de convenios.

Esquema de la viga de Timoshenko 2D

Grados de libertad

La viga de Timoshenko 2D tiene tres grados de libertad en cada nodo:

• Traslación (Dx): desplazamiento según el eje x.
• Traslación (Dz): desplazamiento según el eje z.
• Giro (Ry): giro alrededor del eje y.

Las cargas se especifican en la dirección de los grados de libertad:

• Fuerza horizontal (Fx): fuerza según el eje x.
• Fuerza vertical (Fz): fuerza según el eje z.
• Momento (My): momento alrededor del eje y.

Matriz de rigidez local

La matriz de rigidez de la viga en coordenadas locales es

$\mathbf{K_l} = \begin{pmatrix} \frac{EA}{L} & 0 & 0 & -\frac{EA}{L} & 0 & 0 & \\[2ex] 0 & \frac{12 EI_y}{ L^3 (1+\varphi)} & \frac{-6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & 0 & \frac{-12 EI_y}{L^3 (1+\varphi)} & \frac{-6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} &\\[3ex] 0 & \frac{-6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & \frac{(4 + \varphi) EI_y}{L (1+\varphi)} & 0 & \frac{6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & \frac{(2 - \varphi) EI_y}{L (1+\varphi)} &\\[2ex] -\frac{EA}{L} & 0 & 0 & \frac{EA}{L} & 0 & 0 &\\[2ex] 0 & \frac{-12 EI_y}{L^3 (1+\varphi)} & \frac{6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & 0 & \frac{12 EI_y}{ L^3 (1+\varphi)} & \frac{6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} &\\[3ex] 0 & \frac{-6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & \frac{(2 - \varphi) EI_y}{L (1+\varphi)} & 0 & \frac{6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & \frac{(4 + \varphi) EI_y}{L (1+\varphi)} \end{pmatrix}$

donde

• $E$ es el módulo de Young del material,
• $A$ es el área de la sección,
• $L$ es la longitud de la barra,
• $I_y$ es el momento de inercia de la sección respecto al eje y,
• $\varphi$ es el parámetro adimensional de flexibilidad a cortante

$\varphi = \frac{12\,E I_y}{k\,G\,A\,L^2}$

con $G$ el módulo de cortante y $k$ el coeficiente de cortante de la sección (área eficaz a cortante $kA$). Para $\varphi \to 0$ (barra esbelta o $k$ muy grande) la matriz se reduce a la de la viga de Euler–Bernoulli.

Rótulas de extremo

Una rótula en un extremo del elemento libera el grado de libertad de giro correspondiente: el giro se condensa fuera de la matriz 6 × 6 (condensación estática, $M = 0$ en ese extremo) y el elemento se ensambla con los grados de libertad restantes. Con ambos extremos liberados solo sobreviven los términos axiles y el elemento se comporta como una barra de celosía.

Cargas de elemento

Las cargas distribuidas, concentradas y térmicas se convierten en cargas nodales equivalentes $\mathbf{f}_{eq}$ (las fuerzas de empotramiento perfecto cambiadas de signo) y se suman al vector global de cargas. Tras la solución, los esfuerzos a lo largo del elemento se recuperan a partir de los desplazamientos de extremo más la solución particular exacta de la carga de elemento, de modo que los diagramas son exactos a lo largo de la barra.

Matriz de transformación

La matriz de transformación del elemento, $\mathbf{T}$, lleva la matriz de rigidez local al sistema de coordenadas global.

$\mathbf{T} = \begin{pmatrix} \cos(\alpha) & \sin(\alpha) & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -\sin(\alpha) & \cos(\alpha) & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cos(\alpha) & \sin(\alpha) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -\sin(\alpha) & \cos(\alpha) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Matriz de rigidez global

La matriz de rigidez global, $\mathbf{K_g}$, se obtiene a partir de la matriz de transformación $\mathbf{T}$ y la matriz de rigidez local $\mathbf{K_l}$:

$\mathbf{K_g} = \mathbf{T}^\mathsf{T} \cdot \mathbf{K_l} \cdot \mathbf{T}$