Элемент балки

Единственный элемент в EduBeam — двухузловая балка Тимошенко в плоскости x–z. По сравнению с классической балкой Эйлера–Бернулли она добавляет деформацию сдвига, которая важна для высоких или коротких стержней и исчезает для гибких. Правила знаков сведены на странице правил знаков.

Схема 2D-балки Тимошенко

Степени свободы

2D-балка Тимошенко имеет три степени свободы в каждом узле:

• Перемещение (Dx): перемещение вдоль оси X.
• Перемещение (Dz): перемещение вдоль оси Z.
• Поворот (Ry): поворот вокруг оси Y.

Нагрузки задаются в направлениях степеней свободы:

• Горизонтальная сила (Fx): сила вдоль оси X.
• Вертикальная сила (Fz): сила вдоль оси Z.
• Момент (My): момент вокруг оси Y.

Локальная матрица жёсткости

Матрица жёсткости балки в локальных координатах имеет вид:

$\mathbf{K_l} = \begin{pmatrix} \frac{EA}{L} & 0 & 0 & -\frac{EA}{L} & 0 & 0 & \\[2ex] 0 & \frac{12 EI_y}{ L^3 (1+\varphi)} & \frac{-6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & 0 & \frac{-12 EI_y}{L^3 (1+\varphi)} & \frac{-6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} &\\[3ex] 0 & \frac{-6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & \frac{(4 + \varphi) EI_y}{L (1+\varphi)} & 0 & \frac{6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & \frac{(2 - \varphi) EI_y}{L (1+\varphi)} &\\[2ex] -\frac{EA}{L} & 0 & 0 & \frac{EA}{L} & 0 & 0 &\\[2ex] 0 & \frac{-12 EI_y}{L^3 (1+\varphi)} & \frac{6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & 0 & \frac{12 EI_y}{ L^3 (1+\varphi)} & \frac{6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} &\\[3ex] 0 & \frac{-6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & \frac{(2 - \varphi) EI_y}{L (1+\varphi)} & 0 & \frac{6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & \frac{(4 + \varphi) EI_y}{L (1+\varphi)} \end{pmatrix}$

где:

• $E$ — модуль Юнга материала
• $A$ — площадь поперечного сечения балки
• $L$ — длина балки
• $I_y$ — момент инерции сечения относительно оси y
• $\varphi$ — безразмерный параметр податливости на сдвиг

$\varphi = \frac{12\,E I_y}{k\,G\,A\,L^2}$

где $G$ — модуль сдвига, а $k$ — коэффициент сдвига сечения (эффективная площадь сдвига $kA$). При $\varphi \to 0$ (гибкая балка или очень большое $k$) матрица сводится к матрице жёсткости балки Эйлера–Бернулли.

Концевые шарниры

Шарнир на конце элемента освобождает соответствующую поворотную степень свободы: поворот исключается из матрицы 6 × 6 (статическая конденсация, $M = 0$ на этом конце), и элемент собирается с оставшимися степенями свободы. При освобождении обоих концов остаются только продольные члены, и элемент ведёт себя как стержень фермы.

Нагрузки на элементы

Распределённые, сосредоточенные и температурные нагрузки преобразуются в эквивалентные узловые нагрузки $\mathbf{f}_{eq}$ (взятые с обратным знаком реакции защемления) и добавляются в глобальный вектор нагрузок. После решения внутренние усилия вдоль элемента восстанавливаются из концевых перемещений плюс точное частное решение от нагрузки на элемент, поэтому эпюры вдоль стержня точны.

Матрица преобразования

Матрица преобразования элемента $\mathbf{T}$ служит для перевода локальной матрицы жёсткости в глобальную систему координат.

$\mathbf{T} = \begin{pmatrix} \cos(\alpha) & \sin(\alpha) & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -\sin(\alpha) & \cos(\alpha) & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cos(\alpha) & \sin(\alpha) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -\sin(\alpha) & \cos(\alpha) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Глобальная матрица жёсткости

Глобальная матрица жёсткости $\mathbf{K_g}$ получается умножением матрицы преобразования элемента $\mathbf{T}$ на локальную матрицу жёсткости $\mathbf{K_l}$:

$\mathbf{K_g} = \mathbf{T}^\mathsf{T} \cdot \mathbf{K_l} \cdot \mathbf{T}$