Elemento de viga

O único elemento do EduBeam é uma viga de Timoshenko de dois nós no plano x–z. Em relação à viga clássica de Euler–Bernoulli, acrescenta a deformação por cisalhamento, relevante em barras altas ou curtas e desprezível nas esbeltas. A convenção de sinais está resumida na página de convenções.

Esquema da viga de Timoshenko 2D

Graus de liberdade

A viga de Timoshenko 2D tem três graus de liberdade em cada nó:

• Translação (Dx): deslocamento ao longo do eixo x.
• Translação (Dz): deslocamento ao longo do eixo z.
• Rotação (Ry): rotação em torno do eixo y.

As cargas são especificadas na direção dos graus de liberdade:

• Força horizontal (Fx): força ao longo do eixo x.
• Força vertical (Fz): força ao longo do eixo z.
• Momento (My): momento em torno do eixo y.

Matriz de rigidez local

A matriz de rigidez da viga em coordenadas locais é

$\mathbf{K_l} = \begin{pmatrix} \frac{EA}{L} & 0 & 0 & -\frac{EA}{L} & 0 & 0 & \\[2ex] 0 & \frac{12 EI_y}{ L^3 (1+\varphi)} & \frac{-6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & 0 & \frac{-12 EI_y}{L^3 (1+\varphi)} & \frac{-6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} &\\[3ex] 0 & \frac{-6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & \frac{(4 + \varphi) EI_y}{L (1+\varphi)} & 0 & \frac{6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & \frac{(2 - \varphi) EI_y}{L (1+\varphi)} &\\[2ex] -\frac{EA}{L} & 0 & 0 & \frac{EA}{L} & 0 & 0 &\\[2ex] 0 & \frac{-12 EI_y}{L^3 (1+\varphi)} & \frac{6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & 0 & \frac{12 EI_y}{ L^3 (1+\varphi)} & \frac{6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} &\\[3ex] 0 & \frac{-6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & \frac{(2 - \varphi) EI_y}{L (1+\varphi)} & 0 & \frac{6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & \frac{(4 + \varphi) EI_y}{L (1+\varphi)} \end{pmatrix}$

onde

• $E$ é o módulo de Young do material,
• $A$ é a área da seção transversal,
• $L$ é o comprimento da barra,
• $I_y$ é o momento de inércia da seção em torno do eixo y,
• $\varphi$ é o parâmetro adimensional de flexibilidade ao cisalhamento

$\varphi = \frac{12\,E I_y}{k\,G\,A\,L^2}$

com $G$ o módulo de cisalhamento e $k$ o coeficiente de cisalhamento da seção (área efetiva ao cisalhamento $kA$). Para $\varphi \to 0$ (barra esbelta ou $k$ muito grande) a matriz se reduz à da viga de Euler–Bernoulli.

Rótulas de extremidade

Uma rótula em uma extremidade do elemento libera o grau de liberdade de rotação correspondente: a rotação é condensada para fora da matriz 6 × 6 (condensação estática, $M = 0$ naquela extremidade) e o elemento é montado com os graus de liberdade restantes. Com as duas extremidades liberadas, sobrevivem apenas os termos axiais e o elemento se comporta como uma barra de treliça.

Cargas de elemento

Cargas distribuídas, concentradas e térmicas são convertidas em cargas nodais equivalentes $\mathbf{f}_{eq}$ (o oposto das reações de engastamento perfeito) e somadas ao vetor global de cargas. Após a solução, os esforços ao longo do elemento são recuperados a partir dos deslocamentos de extremidade mais a solução particular exata da carga de elemento, de modo que os diagramas são exatos ao longo da barra.

Matriz de transformação

A matriz de transformação do elemento, $\mathbf{T}$, leva a matriz de rigidez local ao sistema de coordenadas global.

$\mathbf{T} = \begin{pmatrix} \cos(\alpha) & \sin(\alpha) & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -\sin(\alpha) & \cos(\alpha) & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cos(\alpha) & \sin(\alpha) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -\sin(\alpha) & \cos(\alpha) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Matriz de rigidez global

A matriz de rigidez global, $\mathbf{K_g}$, é obtida a partir da matriz de transformação $\mathbf{T}$ e da matriz de rigidez local $\mathbf{K_l}$:

$\mathbf{K_g} = \mathbf{T}^\mathsf{T} \cdot \mathbf{K_l} \cdot \mathbf{T}$