EduBeam

手計算による結果の確認 ​

EduBeam は、すべての技術者に必要な習慣、つまり「おおよそでも自分で再現できない数値は信用しない」という習慣を身につけるのにうってつけです。このページでは、代表的なケースについて理論式と、アプリが示す値を紹介します。それぞれのモデルを自分で作って比べてみましょう。

手計算による確認まで含めた完全な例題は、3 ヒンジラーメンと平面トラスのチュートリアルをご覧ください。

特に断らない限り、すべてのケースで同じ鋼製断面を使います：E=210 000E = 210\,000 MPa、G=81 000G = 81\,000 MPa、A=28.5A = 28.5 cm²、Iy=1943I_y = 1943 cm⁴、h=200h = 200 mm、k=1k = 1（IPE 200）。

EI=210×109⋅1.943×10−5=4.080×106 Nm2EI = 210 \times 10^9 \cdot 1.943 \times 10^{-5} = 4.080 \times 10^6\ \text{Nm}^2

数値がわずかに異なる理由

EduBeam は ティモシェンコ梁を使うため、古典的なオイラー・ベルヌーイ梁の曲げによるたわみに、せん断によるたわみ Δws\Delta w_s が加わります。静定構造では、たわみ角、反力、断面力は影響を受けません。細長い部材ではこの追加項はごくわずかです。下の表ではこれを明示しています。

単純梁、等分布荷重 ​

L=6L = 6 m、q=12q = 12 kN/m。支点：節点 1 は Dx + Dz、節点 2 は Dz。

量式値EduBeam
反力qL/2qL/236 kN36 kN
VmaxV_{max}qL/2qL/236 kN36 kN
MmaxM_{max}（スパン中央）qL2/8qL^2/854 kNm54 kNm
材端のたわみ角qL3/(24EI)qL^3/(24EI)0.02647 rad0.02647 rad
中央のたわみ（曲げ）5qL4/(384EI)5qL^4/(384EI)49.63 mm—
中央のたわみ（せん断）qL2/(8kGA)qL^2/(8kGA)0.23 mm—
中央のたわみ（合計）合計49.86 mm49.86 mm

スパン中央のたわみを読むには、節点を追加（マウス）→ 構造物に接続でスパン中央に節点を追加します。要素を分割しても結果は変わりません。

片持ち梁、先端荷重 ​

L=4L = 4 m、自由端に下向きの F=18F = 18 kN。支点：節点 1 は Dx + Dz + Ry。

量式値EduBeam
鉛直反力FF18 kN18 kN
固定端モーメントFLFL72 kNm72 kNm
先端のたわみ角FL2/(2EI)FL^2/(2EI)0.03529 rad0.03529 rad
先端のたわみ（曲げ）FL3/(3EI)FL^3/(3EI)94.11 mm—
先端のたわみ（せん断）FL/(kGA)FL/(kGA)0.31 mm—
先端のたわみ（合計）合計94.42 mm94.42 mm

ここではせん断の項は 0.3 % です。片持ち梁を 1 m に短くすると 5 % になります。せん断補正係数はまさにこのためにあります。

両端固定梁、等分布荷重 ​

L=6L = 6 m、q=12q = 12 kN/m。両方の節点を Dx + Dz + Ry。

量式値
反力qL/2qL/236 kN
支点モーメントqL2/12qL^2/1236 kNm（上側引張）
スパン中央のモーメントqL2/24qL^2/2418 kNm（下側引張）
中央のたわみqL4/(384EI)+qL2/(8kGA)qL^4/(384EI) + qL^2/(8kGA)9.93 + 0.23 = 10.16 mm

単純梁のケースから、両方の節点の Ry にチェックを入れて作り、曲げモーメント図がどう移動するかを見てみましょう。

一端固定他端ローラー支持梁、等分布荷重 ​

L=6L = 6 m、q=12q = 12 kN/m。節点 1 は Dx + Dz + Ry、節点 2 は Dz。

量式値
固定端の反力5qL/85qL/845 kN
ローラーの反力3qL/83qL/827 kN
固定端モーメントqL2/8qL^2/854 kNm（上側引張）
最大正曲げモーメント固定端から x=5L/8x = 5L/8 の位置で 9qL2/1289qL^2/1283.75 m の位置で 30.4 kNm

アプリは局所的な極値に自動でラベルを付けるので、値と（要素に沿った位置から）その発生位置の両方を読み取れます。

2 部材トラス ​

(0, 0) と (4, 0) のピン支点から出た 2 本の部材が (2, −2)（頂点は 2 m 上）で交わります。両部材とも両端の材端ヒンジにチェックを入れ、頂点に鉛直荷重 F=20F = 20 kN（下向き、つまり Fz = 20）をかけます。

各部材の傾きは 45°、長さは L=22L = 2\sqrt{2} m です。対称性から、各部材が負担する軸力は

N=−F2sin⁡45∘=−14.14 kN (compression)N = -\frac{F}{2 \sin 45^\circ} = -14.14\ \text{kN (compression)}

（圧縮）で、各支点は鉛直に 10 kN、水平に ±10 kN を負担します。N (x) の表示と反力を確認してください。

単純梁の温度勾配 ​

L=8L = 8 m、ΔTb−ΔTt=−10\Delta T_b - \Delta T_t = -10 K（上面のほうが高温）、α=12×10−6\alpha = 12 \times 10^{-6}、h=0.2h = 0.2 m。

梁は自由に曲がれるので、断面力は生じません。曲率は

κ=α (ΔTb−ΔTt)h=12×10−6⋅(−10)0.2=−6×10−4 m−1\kappa = \frac{\alpha\,(\Delta T_b - \Delta T_t)}{h} = \frac{12 \times 10^{-6} \cdot (-10)}{0.2} = -6 \times 10^{-4}\ \text{m}^{-1}

で、スパン中央のたわみは κL2/8=−4.8\kappa L^2 / 8 = -4.8 mm（上向き）です。次に両端の Ry を拘束すると、曲率が拘束され、スパン全体に一定のモーメント M=EIκ=2.45M = EI\kappa = 2.45 kNm が生じます。

強制変位 ​

荷重を取り除いた一端固定他端ローラー支持梁で、ローラーに Dz = 10 mm の強制変位（支点沈下）を与えます。片持ち梁の先端を ww だけ押し下げるのに必要な反力は R=3EIw/L3=0.567R = 3EIw/L^3 = 0.567 kN、固定端モーメントは RL=3.40RL = 3.40 kNm です。等分布荷重を戻すと、結果は線形に重ね合わされます。

自分で確認するときのヒント ​

  • 単位チップを常に目に入るところに置いておきましょう。食い違いのほとんどは単位の取り違えです。
  • 直接剛性法を学ぶときは、剛性マトリクスウィンドウで 1 つの要素を理論マニュアルと比べてみましょう。
  • 正確な数値は、丸められている図のラベルではなく、結果タブとマウスを重ねたときのツールチップから読み取りましょう。結果タブの CSV をエクスポートやコピーでも、表計算ソフトですぐ使える形で反力を取り出せます。
  • 設定で数値の表示形式を自動にすると、4 · 10¹ ではなく 40 と表示されます。
  • モデルを共有を使えば、確認済みのモデルを同僚や先生に渡せます。