EduBeam

梁要素 ​

EduBeam の要素は、x–z 平面内の 2 節点 ティモシェンコ梁だけです。古典的なオイラー・ベルヌーイ梁と比べてせん断変形が加わり、これはせいの高い部材や短い部材で重要になり、細長い部材ではほとんど消えます。符号規約は符号規約のページにまとめています。

LEA
2D Timoshenko 梁の概略図

自由度 ​

2D ティモシェンコ梁は、各節点に 3 つの自由度（DOF）を持ちます。

  • 並進（Dx）： X 軸方向の変位。
  • 並進（Dz）： Z 軸方向の変位。
  • 回転（Ry）： Y 軸まわりの回転。

荷重は自由度の向きに与えます。

  • 水平力（Fx）： X 軸方向に作用する力。
  • 鉛直力（Fz）： Z 軸方向に作用する力。
  • モーメント（My）： Y 軸まわりに作用するモーメント。

ローカル剛性マトリクス ​

ローカル座標系での梁の剛性マトリクスは次のとおりです。

Kl=(EAL00−EAL00012EIyL3(1+φ)−6EIyL2(1+φ)0−12EIyL3(1+φ)−6EIyL2(1+φ)0−6EIyL2(1+φ)(4+φ)EIyL(1+φ)06EIyL2(1+φ)(2−φ)EIyL(1+φ)−EAL00EAL000−12EIyL3(1+φ)6EIyL2(1+φ)012EIyL3(1+φ)6EIyL2(1+φ)0−6EIyL2(1+φ)(2−φ)EIyL(1+φ)06EIyL2(1+φ)(4+φ)EIyL(1+φ))\mathbf{K_l} = \begin{pmatrix} \dfrac{EA}{L} & 0 & 0 & -\dfrac{EA}{L} & 0 & 0 & \\[2ex] 0 & \dfrac{12 EI_y}{ L^3 (1+\varphi)} & \dfrac{-6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & 0 & \dfrac{-12 EI_y}{L^3 (1+\varphi)} & \dfrac{-6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} &\\[3ex] 0 & \dfrac{-6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & \dfrac{(4 + \varphi) EI_y}{L (1+\varphi)} & 0 & \dfrac{6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & \dfrac{(2 - \varphi) EI_y}{L (1+\varphi)} &\\[2ex] -\dfrac{EA}{L} & 0 & 0 & \dfrac{EA}{L} & 0 & 0 &\\[2ex] 0 & \dfrac{-12 EI_y}{L^3 (1+\varphi)} & \dfrac{6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & 0 & \dfrac{12 EI_y}{ L^3 (1+\varphi)} & \dfrac{6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} &\\[3ex] 0 & \dfrac{-6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & \dfrac{(2 - \varphi) EI_y}{L (1+\varphi)} & 0 & \dfrac{6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & \dfrac{(4 + \varphi) EI_y}{L (1+\varphi)} \end{pmatrix}

ここで：

  • EE は材料のヤング係数
  • AA は梁の断面積
  • LL は梁の長さ
  • IyI_y は y 軸まわりの断面二次モーメント
  • φ\varphi はせん断変形の影響を表す無次元のパラメーター

φ=12 EIyk G A L2\varphi = \frac{12\,E I_y}{k\,G\,A\,L^2}

GG はせん断弾性係数、kk は断面のせん断補正係数です（有効せん断断面積は kAkA）。φ→0\varphi \to 0（細長い梁、または非常に大きな kk）では、マトリクスはオイラー・ベルヌーイ梁の剛性マトリクスに一致します。

材端ヒンジ ​

要素の端にヒンジを設けると、対応する回転の自由度が解放されます。その回転は 6 × 6 のマトリクスから縮約され（静的縮約、その端で M=0M = 0）、要素は残りの自由度で組み込まれます。両端を解放すると軸方向の項だけが残り、要素はトラス材として振る舞います。

要素荷重 ​

分布荷重、集中荷重、温度荷重は等価節点荷重 feq\mathbf{f}_{eq}（固定端力の符号を反転したもの）に変換され、全体荷重ベクトルに加えられます。解析後、要素に沿った断面力は、材端変位と要素荷重の厳密な特解から求められるので、図は部材に沿って厳密です。

座標変換マトリクス ​

要素の座標変換マトリクス T\mathbf{T} は、ローカル剛性マトリクスをグローバル座標系に変換するのに使います。

T=(cos⁡(α)sin⁡(α)0000−sin⁡(α)cos⁡(α)0000001000000cos⁡(α)sin⁡(α)0000−sin⁡(α)cos⁡(α)0000001)\mathbf{T} = \begin{pmatrix} \cos(\alpha) & \sin(\alpha) & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -\sin(\alpha) & \cos(\alpha) & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cos(\alpha) & \sin(\alpha) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -\sin(\alpha) & \cos(\alpha) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

グローバル剛性マトリクス ​

グローバル座標系での剛性マトリクス Kg\mathbf{K_g} は、要素の座標変換マトリクス T\mathbf{T} とローカル剛性マトリクス Kl\mathbf{K_l} を掛け合わせて得られます。

Kg=TT⋅Kl⋅T\mathbf{K_g} = \mathbf{T}^\mathsf{T} \cdot \mathbf{K_l} \cdot \mathbf{T}