チュートリアル：3 ヒンジラーメン

3 ヒンジラーメンは静定構造です。3 つのつり合い式に、ヒンジで $M = 0$ という条件を加えれば、4 つの支点反力がすべて求まります。そのため、EduBeam が描くすべての数値を確かめるのにうってつけのモデルです。所要時間は約 15 分です。

モデルを眺めるだけなら、完成したモデルを開いてください。

問題

高さ 4 m の柱が 2 本あり、柱脚 A と E はピン支点で、間隔は 8 m です。
柱の上に水平な梁 B–D があり、スパン中央 C にヒンジがあります。
梁全体に等分布荷重 $q = 10$ kN/m が作用します。
鋼（ $E = 210$ GPa、 $G = 81$ GPa）、IPE 300（ $A = 53.8$ cm²、 $I_y = 8356$ cm⁴、 $h = 300$ mm）。

節点	X [m]	Z [m]	支点
A	0	0	ピン
B	0	−4
C	4	−4	（梁のヒンジ）
D	8	−4
E	8	0	ピン

z は下向きなので、柱の頂部は Z = −4 にあることに注意してください。

1. 材料と断面

モデルをクリア（材料を削除と断面を削除にチェック）。
材料 → 材料ライブラリ → Steel (S235)。
断面 → 断面を追加：断面積 = 0.00538、Iy = 8.356e-5、高さ = 0.3、せん断補正係数 = 1。

断面が影響するのは変位だけです。このラーメンは静定なので、断面力は $E$ 、 $A$ 、 $I$ にまったく依存しません。

2. ラーメンを描く

いちばん速いのは、マウスで 1 本の折れ線として描く方法です。

グリッドにスナップがオンになっていることを確認します（S チップ）。
要素タブ → 2 つ目の要素を追加ボタン（カーソルアイコン）。
(0, 0)、(0, −4)、(4, −4)、(8, −4)、(8, 0) の順にクリックします。定規とクロスヘアを見ながら位置を合わせてください。クリックするたびに節点が追加され、直前の節点と接続されます。
Esc で終了し、F でラーメンを画面に合わせます。

これで 5 つの節点と 4 つの要素ができました。ここでの図では節点を A–E と表記しています。必要なら節点の表で名前を変えるか、1–5 のままにしてもかまいません。表で座標を確認し、グリッドからずれたものがあれば修正してください。

3. 支点とヒンジ

節点 A をクリックし、支点条件を開いてピンを選びます。節点 E も同様にします。
要素の表で B から C への要素を探し、終端のヒンジ（材端ヒンジの 2 つ目のボックス）にチェックを入れます。

ヒンジは 1 つで十分

要素 B–C の終端にヒンジを付ければ十分です。C で剛に接続しているのは C–D だけなので、C–D のモーメントを受け取る部材がなく、C のモーメントは 0 になります。C–D の始端にもチェックを入れても何も変わりません。ところが B にもヒンジを付けると、ラーメンは不安定構造になります。試してみてください。EduBeam がその動き方を見せてくれます。

4. 荷重

荷重 → 要素荷重を追加 → 等分布荷重、要素 B–C、fz = 10 kN/m。要素 C–D についても同じ操作を繰り返します。梁は水平なので、ここでは LCS のボックスは結果に影響しません。

5. 結果

表示オプションでは、初期状態で変位図、曲げモーメント、反力がオンになっています。残りを見るには N (x) と V_z (x) にチェックを入れます。

6. 手計算で確認する

鉛直反力。 対称性から、各柱脚が荷重の半分を負担します。

V_A = V_E = \frac{q \cdot 8}{2} = 40\ \text{kN}

水平反力。 ラーメンの左半分について、ヒンジ C まわりのモーメントを考えます。そこでのモーメントは 0 でなければなりません。

V_A \cdot 4 - H_A \cdot 4 - q \cdot 4 \cdot 2 = 0 \quad\Rightarrow\quad H_A = \frac{160 - 80}{4} = 20\ \text{kN}

両方の柱脚は 20 kN で内側に押しています。この水平推力こそが、3 ヒンジラーメンを効率的な構造にしています。

断面力。

量	式	手計算	EduBeam
鉛直反力	$qL/2$	40 kN	40 kN
水平反力	$M_C = 0$ から	20 kN	20 kN
隅角部 B と D のモーメント	$H \cdot h$	80 kNm、外側引張	−80 kNm
ヒンジ C のモーメント		0	0
柱の軸力	$-V_A$	−40 kN	−40 kN
梁の軸力	$-H_A$	−20 kN	−20 kN
柱のせん断力	$H_A$	20 kN	−20 kN（A–B）、+20 kN（D–E）
B での梁のせん断力	$V_A$	40 kN	40 kN
C での梁のせん断力	$V_A - 4q$	0	0
D での梁のせん断力	$V_A - 8q$	−40 kN	−40 kN

2 本の柱は同じ大きさの力を負担しているのに、せん断力の符号が逆です。各要素のローカル座標軸は要素の向きに従い、A–B は上向き、D–E は下向きに描かれているからです。片方の柱の節点を入れ替えると、符号が反転します。

梁では $M(x) = -80 + 40x - 5x^2$ kNm（x は B から）で、ヒンジで 0 になり、正になることはありません。梁全体が上側引張です。せん断力 $V(x) = 40 - 10x$ はちょうど C で 0 になるので、モーメントの極値もヒンジの位置にあります。

変位。 ヒンジ C は 43.1 mm 沈みます（結果 → 節点結果、C の Dz）。これは 4 つの部材すべての曲げによるもので、仮想仕事の原理のよい練習問題になります。

7. いろいろ試す

C のヒンジのチェックを外す。ラーメンは 1 次不静定になり、隅角部のモーメントが小さくなって、スパン中央に正の曲げモーメント（下側引張）が現れます。今度は断面が影響します。より剛な梁を試してみましょう。
柱脚を固定する（固定の支点を選ぶ）。A と E にモーメントが生じます。
水平荷重を加える：B に節点荷重 Fx = 10 kN。ラーメンは水平に変位し、反力は左右対称でなくなります。同じ 3 つの式と $M_C = 0$ で確かめてみましょう。
B にもヒンジを付ける。ラーメンは不安定構造になり、EduBeam がその動き方をアニメーションで示します。

チュートリアル：3 ヒンジラーメン ​

問題 ​

1. 材料と断面 ​

2. ラーメンを描く ​

3. 支点とヒンジ ​

4. 荷重 ​

5. 結果 ​

6. 手計算で確認する ​

7. いろいろ試す ​