बीम अवयव

EduBeam में एकमात्र अवयव x–z समतल में दो-नोड वाला Timoshenko बीम है। क्लासिक Euler–Bernoulli बीम की तुलना में यह अपरूपण विरूपण (shear deformation) जोड़ता है, जो गहरे या छोटे सदस्यों के लिए महत्वपूर्ण है और पतले सदस्यों के लिए लुप्त हो जाता है। चिह्न परिपाटियाँ परिपाटी पृष्ठ पर संक्षेप में दी गई हैं।

2D Timoshenko बीम का आरेख

स्वातंत्र्य-कोटियाँ

2D Timoshenko बीम, जिसके हर नोड पर तीन स्वातंत्र्य-कोटियाँ (DOFs) हैं:

• स्थानांतरण (Dx): X-अक्ष के साथ विस्थापन।
• स्थानांतरण (Dz): Z-अक्ष के साथ विस्थापन।
• घूर्णन (Ry): Y-अक्ष के परितः घूर्णन।

भार DOFs की दिशा में निर्दिष्ट किए जाते हैं:

• क्षैतिज बल (Fx): X-अक्ष के साथ लगाया गया बल।
• ऊर्ध्वाधर बल (Fz): Z-अक्ष के साथ लगाया गया बल।
• आघूर्ण (My): Y-अक्ष के परितः लगाया गया आघूर्ण।

स्थानीय दृढ़ता मैट्रिक्स

स्थानीय निर्देशांकों में बीम की दृढ़ता मैट्रिक्स (stiffness matrix) है:

$\mathbf{K_l} = \begin{pmatrix} \frac{EA}{L} & 0 & 0 & -\frac{EA}{L} & 0 & 0 & \\[2ex] 0 & \frac{12 EI_y}{ L^3 (1+\varphi)} & \frac{-6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & 0 & \frac{-12 EI_y}{L^3 (1+\varphi)} & \frac{-6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} &\\[3ex] 0 & \frac{-6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & \frac{(4 + \varphi) EI_y}{L (1+\varphi)} & 0 & \frac{6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & \frac{(2 - \varphi) EI_y}{L (1+\varphi)} &\\[2ex] -\frac{EA}{L} & 0 & 0 & \frac{EA}{L} & 0 & 0 &\\[2ex] 0 & \frac{-12 EI_y}{L^3 (1+\varphi)} & \frac{6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & 0 & \frac{12 EI_y}{ L^3 (1+\varphi)} & \frac{6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} &\\[3ex] 0 & \frac{-6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & \frac{(2 - \varphi) EI_y}{L (1+\varphi)} & 0 & \frac{6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & \frac{(4 + \varphi) EI_y}{L (1+\varphi)} \end{pmatrix}$

जहाँ:

• $E$ सामग्री का यंग मापांक (Young's modulus) है
• $A$ बीम का अनुप्रस्थ-काट क्षेत्रफल है
• $L$ बीम की लंबाई है
• $I_y$ y-अक्ष के परितः क्षेत्र का द्वितीय आघूर्ण (second moment of area) है
• $\varphi$ विमाहीन अपरूपण-लचीलापन प्राचल है

$\varphi = \frac{12\,E I_y}{k\,G\,A\,L^2}$

जिसमें $G$ अपरूपण मापांक और $k$ अनुप्रस्थ काट का अपरूपण गुणांक (प्रभावी अपरूपण क्षेत्रफल $kA$) है। $\varphi \to 0$ (पतला बीम, या बहुत बड़ा $k$) के लिए मैट्रिक्स Euler–Bernoulli बीम की दृढ़ता में बदल जाती है।

सिरे के हिंज

अवयव के सिरे पर हिंज संबंधित घूर्णी DOF को मुक्त करता है: घूर्णन को 6 × 6 मैट्रिक्स से संघनित कर दिया जाता है (स्थैतिक संघनन / static condensation, उस सिरे पर $M = 0$) और अवयव शेष DOFs के साथ संयोजित होता है। दोनों सिरे मुक्त होने पर केवल अक्षीय पद बचते हैं और अवयव ट्रस बार की तरह व्यवहार करता है।

अवयव भार

वितरित, संकेंद्रित और तापीय भारों को तुल्य नोडीय भारों (equivalent nodal loads) $\mathbf{f}_{eq}$ (जड़ित-सिरा बलों का ऋणात्मक) में बदलकर वैश्विक भार सदिश में जोड़ा जाता है। हल के बाद अवयव के साथ-साथ आंतरिक बल सिरा-विस्थापनों और अवयव भार के यथार्थ विशेष हल से पुनः प्राप्त किए जाते हैं, इसलिए आरेख सदस्य के साथ-साथ यथार्थ हैं।

रूपांतरण मैट्रिक्स

अवयव की रूपांतरण मैट्रिक्स (transformation matrix) $\mathbf{T}$ का उपयोग स्थानीय दृढ़ता मैट्रिक्स को वैश्विक निर्देशांक तंत्र में रूपांतरित करने के लिए किया जाता है।

$\mathbf{T} = \begin{pmatrix} \cos(\alpha) & \sin(\alpha) & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -\sin(\alpha) & \cos(\alpha) & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cos(\alpha) & \sin(\alpha) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -\sin(\alpha) & \cos(\alpha) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

वैश्विक दृढ़ता मैट्रिक्स

वैश्विक दृढ़ता मैट्रिक्स $\mathbf{K_g}$ अवयव की रूपांतरण मैट्रिक्स $\mathbf{T}$ को स्थानीय दृढ़ता मैट्रिक्स $\mathbf{K_l}$ से गुणा करके प्राप्त होती है:

$\mathbf{K_g} = \mathbf{T}^\mathsf{T} \cdot \mathbf{K_l} \cdot \mathbf{T}$