Verificare i risultati a mano

EduBeam è il posto giusto per allenare l'abitudine di cui ogni ingegnere ha bisogno: non fidarti mai di un numero che non sai riprodurre almeno a grandi linee. Questa pagina riporta le formule in forma chiusa per i casi classici e mostra cosa restituisce l'app, così puoi costruire ogni modello da solo e confrontare.

Per esempi svolti completi con verifiche a mano, vedi i tutorial sul telaio a tre cerniere e sulla travatura reticolare piana.

Salvo indicazione contraria, tutti i casi usano la stessa sezione in acciaio: $E = 210\,000$ MPa, $G = 81\,000$ MPa, $A = 28{,}5$ cm², $I_y = 1943$ cm⁴, $h = 200$ mm, $k = 1$ (una IPE 200).

$$EI = 210 \times 10^9 \cdot 1{,}943 \times 10^{-5} = 4{,}080 \times 10^6\ \text{Nm}^2$$

Perché i numeri differiscono leggermente

EduBeam usa travi di Timoshenko, che aggiungono una freccia da taglio $\Delta w_s$ alla classica freccia flessionale di Eulero–Bernoulli. Rotazioni, reazioni e forze interne non cambiano nei casi isostatici. Per aste snelle il termine aggiuntivo è minimo; le tabelle qui sotto lo riportano esplicitamente.

Trave semplicemente appoggiata, carico uniforme

$L = 6$ m, $q = 12$ kN/m. Vincoli: nodo 1 Dx + Dz, nodo 2 Dz.

Grandezza	Formula	Valore	EduBeam
Reazioni	$qL/2$	36 kN	36 kN
$V_{max}$	$qL/2$	36 kN	36 kN
$M_{max}$ (mezzeria)	$qL^2/8$	54 kNm	54 kNm
Rotazione all'estremità	$qL^3/(24EI)$	0,02647 rad	0,02647 rad
Freccia in mezzeria (flessione)	$5qL^4/(384EI)$	49,63 mm	—
Freccia in mezzeria (taglio)	$qL^2/(8kGA)$	0,23 mm	—
Freccia in mezzeria (totale)	somma	49,86 mm	49,86 mm

Per leggere la freccia in mezzeria, aggiungi lì un nodo con Aggiungi nodo (mouse) → Collega alla struttura; dividere l'elemento non cambia alcun risultato.

Mensola, carico all'estremità

$L = 4$ m, $F = 18$ kN verso il basso all'estremità libera. Vincolo: nodo 1 Dx + Dz + Ry.

Grandezza	Formula	Valore	EduBeam
Reazione verticale	$F$	18 kN	18 kN
Momento d'incastro	$FL$	72 kNm	72 kNm
Rotazione all'estremità	$FL^2/(2EI)$	0,03529 rad	0,03529 rad
Freccia all'estremità (flessione)	$FL^3/(3EI)$	94,11 mm	—
Freccia all'estremità (taglio)	$FL/(kGA)$	0,31 mm	—
Freccia all'estremità (totale)	somma	94,42 mm	94,42 mm

Qui il termine di taglio vale lo 0,3 %. Accorcia la mensola a 1 m e diventa il 5 %: è a questo che serve il coefficiente di taglio.

Trave doppiamente incastrata, carico uniforme

$L = 6$ m, $q = 12$ kN/m. Entrambi i nodi Dx + Dz + Ry.

Grandezza	Formula	Valore
Reazioni	$qL/2$	36 kN
Momento all'incastro	$qL^2/12$	36 kNm (negativo, fibre superiori tese)
Momento in mezzeria	$qL^2/24$	18 kNm (positivo)
Freccia in mezzeria	$qL^4/(384EI) + qL^2/(8kGA)$	9,93 + 0,23 = 10,16 mm

Costruiscila a partire dalla trave appoggiata spuntando Ry in entrambi i nodi, e guarda il diagramma del momento spostarsi.

Trave incastrata-appoggiata, carico uniforme

$L = 6$ m, $q = 12$ kN/m. Nodo 1 Dx + Dz + Ry, nodo 2 Dz.

Grandezza	Formula	Valore
Reazione all'incastro	$5qL/8$	45 kN
Reazione al carrello	$3qL/8$	27 kN
Momento d'incastro	$qL^2/8$	54 kNm (negativo)
Momento positivo massimo	$9qL^2/128$ a $x = 5L/8$ dall'incastro	30,4 kNm a 3,75 m

L'app etichetta automaticamente l'estremo locale, così puoi leggerne sia il valore sia (dalla posizione lungo l'elemento) il punto in cui si trova.

Travatura a due aste

Due aste che partono da cerniere in (0, 0) e (4, 0) e si incontrano in (2, −2) (vertice 2 m più in alto), con entrambe le cerniere di estremità spuntate su entrambe le aste, e un carico verticale $F = 20$ kN nel vertice (verso il basso, cioè Fz = 20).

Ogni asta è inclinata di 45° e lunga $L = 2\sqrt{2}$ m. Per simmetria ciascuna porta

$$N = -\frac{F}{2 \sin 45^\circ} = -14{,}14\ \text{kN (compressione)}$$

e ciascun vincolo assorbe 10 kN in verticale e ±10 kN in orizzontale. Controlla il diagramma N (x) e le reazioni.

Gradiente termico su una trave semplicemente appoggiata

$L = 8$ m, $\Delta T_b - \Delta T_t = -10$ K (fibre superiori più calde), $\alpha = 12 \times 10^{-6}$, $h = 0{,}2$ m.

La trave è libera di incurvarsi, quindi non nascono forze interne; la curvatura è

$$\kappa = \frac{\alpha\,(\Delta T_b - \Delta T_t)}{h} = \frac{12 \times 10^{-6} \cdot (-10)}{0{,}2} = -6 \times 10^{-4}\ \text{m}^{-1}$$

e la freccia in mezzeria è $\kappa L^2 / 8 = -4{,}8$ mm (verso l'alto). Ora blocca Ry a entrambe le estremità: la curvatura è impedita e lungo tutta la campata compare un momento costante $M = EI\kappa = 2{,}45$ kNm.

Spostamento imposto

Prendi la trave incastrata-appoggiata senza carico e imponi Dz = 10 mm al carrello (un cedimento). La reazione necessaria per abbassare di $w$ l'estremità di una mensola è $R = 3EIw/L^3 = 0{,}567$ kN e il momento d'incastro è $RL = 3{,}40$ kNm. Rimetti il carico uniforme e i risultati si sovrappongono linearmente.

Consigli per le tue verifiche

• Tieni d'occhio l'indicatore delle unità: la maggior parte delle discrepanze nasce da errori di unità.
• Usa la finestra Matrice di rigidezza per confrontare un singolo elemento con il manuale teorico mentre impari il metodo degli spostamenti.
• Leggi i valori esatti nella scheda Risultati e nei tooltip al passaggio del mouse, non nelle etichette dei diagrammi, che sono arrotondate. Esporta CSV o Copia nella scheda Risultati ti danno anche le reazioni, pronte per un foglio di calcolo.
• Imposta Formato dei numeri su Automatico nelle Impostazioni per leggere 40 invece di 4 · 10¹.
• Usa Condividi modello per passare un modello verificato a un collega o al docente.