Tutorial: travatura reticolare piana

Questo tutorial costruisce una piccola travatura reticolare isostatica, verifica gli sforzi nelle aste con il metodo dei nodi e il metodo delle sezioni, e individua un'asta scarica. Prevedi circa 15 minuti.

La travatura completata: sforzi normali e reazioni

Se vuoi solo esplorarla, apri il modello completato.

Il problema

Geometria, vincoli e carichi

• Una luce di 12 m divisa in tre campi da 4 m, altezza 3 m.
• Nodi del corrente inferiore 1–4, nodi del corrente superiore 5 e 6.
• Una cerniera nel nodo 1 e un carrello nel nodo 4.
• Due carichi da 30 kN nei nodi 2 e 3 del corrente inferiore.
• Aste in acciaio con $A = 20$ cm².

Nodo	X [m]	Z [m]	Vincolo	Carico
1	0	0	cerniera
2	4	0		Fz = 30 kN
3	8	0		Fz = 30 kN
4	12	0	carrello
5	4	−3
6	8	−3

Aste: corrente inferiore 1–2, 2–3, 3–4; corrente superiore 5–6; diagonali d'estremità 1–5 e 6–4; montanti 2–5 e 3–6; e la diagonale centrale 5–3.

È isostatica? $m + r = 9 + 3 = 12 = 2j$ con $j = 6$ nodi, quindi sì: gli sforzi nelle aste si ricavano dal solo equilibrio.

1. Materiale e sezione

1. Cancella struttura (spunta Elimina materiali ed Elimina sezioni).
2. Materiali → Libreria materiali → Steel (S235).
3. Sezioni → Aggiungi sezione: Area = 0,002, Iy = 1e-6, Altezza = 0,1, Coefficiente di taglio = 1. Con aste incernierate conta solo l'area.

2. Disegna le aste con le cerniere

In EduBeam un'asta reticolare è un elemento trave con entrambe le cerniere di estremità spuntate. Lo strumento del mouse può impostarle per te:

1. Scheda Elementi → il secondo pulsante Aggiungi elemento (icona del cursore).
2. Nel banner in alto nella vista, spunta Cerniera iniziale e Cerniera finale. Ogni asta che disegni da ora le avrà entrambe.
3. Disegna il contorno come un'unica polilinea: fai clic in (0, 0), (4, −3), (8, −3), (12, 0), poi torna lungo il corrente inferiore: (8, 0), (4, 0), (0, 0). Premi Esc.
4. Disegna le aste interne una alla volta, premendo Esc dopo ciascuna: (4, 0) → (4, −3), (4, −3) → (8, 0), (8, 0) → (8, −3).
5. Premi F per adattare la vista.

Controlla la tabella Elementi: nove elementi, ciascuno con entrambe le Cerniere di estremità spuntate. I numeri dei tuoi nodi ed elementi possono essere diversi da quelli delle immagini; non importa.

3. Vincoli e carichi

1. Fai clic sul nodo in (0, 0) → Vincoli del nodo → Cerniera. Fai clic sul nodo in (12, 0) → Carrello.
2. Fai clic sul nodo in (4, 0) → Aggiungi carico → Fz = 30 kN. Fai lo stesso in (8, 0).

Un Fz positivo punta verso il basso. I nodi di una travatura reticolare sono liberi di ruotare; EduBeam accetta nodi in cui tutte le aste sono incernierate e ne riporta la rotazione come 0.

4. Risultati

Nelle opzioni di visualizzazione togli la spunta a Deformata e M_y (x) (in una travatura reticolare non c'è flessione) e spunta N (x).

Sforzi normali: trazione positiva

5. Verifica a mano

Reazioni. I carichi sono simmetrici, quindi $R_1 = R_4 = 30$ kN verso l'alto, e la reazione orizzontale della cerniera è nulla.

Nodo 1 (metodo dei nodi). La diagonale d'estremità 1–5 è lunga 5 m ($\sin\alpha = 3/5$, $\cos\alpha = 4/5$):

$$\sum F_z:\ N_{15} \cdot \tfrac{3}{5} = -30 \Rightarrow N_{15} = -50\ \text{kN} \qquad \sum F_x:\ N_{12} = -N_{15} \cdot \tfrac{4}{5} = 40\ \text{kN}$$

Nodo 2. Il montante 2–5 è l'unica asta che può portare verso l'alto il carico di 30 kN: $N_{25} = +30$ kN, e $N_{23} = N_{12} = 40$ kN.

Sezione nel campo centrale. Taglia le aste 5–6, 5–3 e 2–3 e considera la parte sinistra (sezione di Ritter):

• Momenti rispetto al nodo 3: $R_1 \cdot 8 - 30 \cdot 4 + N_{56} \cdot 3 = 0 \Rightarrow N_{56} = -40$ kN.
• Forze verticali: il taglio nel campo è $R_1 - 30 = 0$, quindi la diagonale 5–3 è scarica: $N_{53} = 0$.

Asta	Valore a mano	EduBeam
Corrente inferiore 1–2, 2–3, 3–4	+40 kN (trazione)	40
Corrente superiore 5–6	−40 kN (compressione)	−40
Diagonali d'estremità 1–5, 6–4	−50 kN	−50
Montanti 2–5, 3–6	+30 kN	30
Diagonale centrale 5–3	0	0

L'abbassamento del nodo 2 è 2,29 mm (Risultati → Risultati nodali). Per esercizio, calcolalo con il principio dei lavori virtuali, $\delta = \sum N n L / (EA)$.

6. Sperimenta

• Sposta un carico. Metti entrambi i carichi da 30 kN nel nodo 2. Ora la diagonale centrale è sollecitata: con quale segno, e perché?
• Rimuovi la diagonale centrale. La travatura diventa un meccanismo; EduBeam cerchia le cerniere responsabili e mostra come il campo si deforma a taglio.
• Togli la spunta a tutte le cerniere. La travatura diventa un telaio con nodi rigidi. Spunta M_y (x): i momenti flettenti sono minimi rispetto agli sforzi normali, ed è per questo che l'idealizzazione a nodi incernierati funziona.
• Usa una cerniera in entrambi i vincoli. Una reazione in più la rende iperstatica, e gli sforzi nel corrente inferiore dipendono ora dalle aree delle aste.