Elemento trave

L'unico elemento di EduBeam è una trave di Timoshenko a due nodi nel piano x–z. Rispetto alla classica trave di Eulero–Bernoulli aggiunge la deformazione a taglio, che conta per aste tozze o corte e diventa trascurabile per quelle snelle. Le convenzioni dei segni sono riassunte nella pagina sulle convenzioni.

Schema della trave di Timoshenko 2D

Gradi di libertà

La trave di Timoshenko 2D ha tre gradi di libertà (GdL) in ogni nodo:

• Traslazione (Dx): spostamento lungo l'asse X.
• Traslazione (Dz): spostamento lungo l'asse Z.
• Rotazione (Ry): rotazione attorno all'asse Y.

I carichi si assegnano nelle direzioni dei GdL:

• Forza orizzontale (Fx): forza applicata lungo l'asse X.
• Forza verticale (Fz): forza applicata lungo l'asse Z.
• Momento (My): momento applicato attorno all'asse Y.

Matrice di rigidezza locale

La matrice di rigidezza della trave in coordinate locali è:

$$\mathbf{K_l} = \begin{pmatrix} \dfrac{EA}{L} & 0 & 0 & -\dfrac{EA}{L} & 0 & 0 & \\[2ex] 0 & \dfrac{12 EI_y}{ L^3 (1+\varphi)} & \dfrac{-6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & 0 & \dfrac{-12 EI_y}{L^3 (1+\varphi)} & \dfrac{-6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} &\\[3ex] 0 & \dfrac{-6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & \dfrac{(4 + \varphi) EI_y}{L (1+\varphi)} & 0 & \dfrac{6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & \dfrac{(2 - \varphi) EI_y}{L (1+\varphi)} &\\[2ex] -\dfrac{EA}{L} & 0 & 0 & \dfrac{EA}{L} & 0 & 0 &\\[2ex] 0 & \dfrac{-12 EI_y}{L^3 (1+\varphi)} & \dfrac{6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & 0 & \dfrac{12 EI_y}{ L^3 (1+\varphi)} & \dfrac{6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} &\\[3ex] 0 & \dfrac{-6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & \dfrac{(2 - \varphi) EI_y}{L (1+\varphi)} & 0 & \dfrac{6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & \dfrac{(4 + \varphi) EI_y}{L (1+\varphi)} \end{pmatrix}$$

dove:

• $E$ è il modulo elastico del materiale
• $A$ è l'area della sezione della trave
• $L$ è la lunghezza della trave
• $I_y$ è il momento d'inerzia rispetto all'asse y
• $\varphi$ è il parametro adimensionale di deformabilità a taglio

$$\varphi = \frac{12\,E I_y}{k\,G\,A\,L^2}$$

con $G$ il modulo di taglio e $k$ il coefficiente di taglio della sezione (area efficace a taglio $kA$). Per $\varphi \to 0$ (trave snella, o $k$ molto grande) la matrice si riduce alla rigidezza della trave di Eulero–Bernoulli.

Cerniere di estremità

Una cerniera all'estremità di un elemento svincola il GdL rotazionale corrispondente: la rotazione viene eliminata dalla matrice 6 × 6 per condensazione statica ($M = 0$ a quell'estremità) e l'elemento viene assemblato con i GdL rimanenti. Con entrambe le estremità svincolate restano solo i termini assiali e l'elemento si comporta come un'asta reticolare.

Carichi sull'elemento

I carichi distribuiti, concentrati e termici vengono convertiti in carichi nodali equivalenti $\mathbf{f}_{eq}$ (l'opposto delle forze di incastro perfetto) e sommati al vettore globale dei carichi. Dopo la soluzione, le forze interne lungo l'elemento vengono ricostruite dagli spostamenti di estremità più la soluzione particolare esatta del carico sull'elemento, quindi i diagrammi sono esatti lungo tutta l'asta.

Matrice di trasformazione

La matrice di trasformazione dell'elemento, $\mathbf{T}$, serve a trasformare la matrice di rigidezza locale nel sistema di coordinate globale.

$$\mathbf{T} = \begin{pmatrix} \cos(\alpha) & \sin(\alpha) & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -\sin(\alpha) & \cos(\alpha) & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cos(\alpha) & \sin(\alpha) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -\sin(\alpha) & \cos(\alpha) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Matrice di rigidezza globale

La matrice di rigidezza globale, $\mathbf{K_g}$, si ottiene moltiplicando la matrice di trasformazione dell'elemento, $\mathbf{T}$, per la matrice di rigidezza locale, $\mathbf{K_l}$:

$$\mathbf{K_g} = \mathbf{T}^\mathsf{T} \cdot \mathbf{K_l} \cdot \mathbf{T}$$