Tutorial: telaio a tre cerniere

Un telaio a tre cerniere è isostatico: le tre equazioni di equilibrio più la condizione $M = 0$ nella cerniera danno tutte e quattro le reazioni vincolari. Per questo è il modello perfetto per verificare ogni numero che EduBeam disegna. Prevedi circa 15 minuti.

Il telaio completato: momento flettente e reazioni

Se vuoi solo esplorarlo, apri il modello completato.

Il problema

• Due colonne di 4 m, incernierate alla base in A ed E, a 8 m di distanza.
• Una trave orizzontale B–D in sommità, con una cerniera in mezzeria in C.
• Un carico uniforme $q = 10$ kN/m su tutta la trave.
• Acciaio ($E = 210$ GPa, $G = 81$ GPa), IPE 300 ($A = 53{,}8$ cm², $I_y = 8356$ cm⁴, $h = 300$ mm).

Nodo	X [m]	Z [m]	Vincolo
A	0	0	cerniera
B	0	−4
C	4	−4	(cerniera nella trave)
D	8	−4
E	8	0	cerniera

Ricorda che z punta verso il basso, quindi la sommità delle colonne è a Z = −4.

1. Materiale e sezione

1. Cancella struttura (spunta Elimina materiali ed Elimina sezioni).
2. Materiali → Libreria materiali → Steel (S235).
3. Sezioni → Aggiungi sezione: Area = 0,00538, Iy = 8,356e-5, Altezza = 0,3, Coefficiente di taglio = 1.

La sezione influisce solo sugli spostamenti. Questo telaio è isostatico, quindi le sue forze interne non dipendono affatto da $E$, $A$ o $I$.

2. Disegna il telaio

Il modo più rapido è una polilinea unica con il mouse:

1. Assicurati che Snap alla griglia sia attivo (l'indicatore S).
2. Scheda Elementi → il secondo pulsante Aggiungi elemento (icona del cursore).
3. Fai clic in (0, 0), poi in (0, −4), (4, −4), (8, −4) e (8, 0). Usa i righelli e il mirino per trovare i punti. Ogni clic aggiunge un nodo e lo collega al precedente.
4. Premi Esc per terminare, poi F per adattare il telaio allo schermo.

Ora hai cinque nodi e quattro elementi. Le immagini qui chiamano i nodi A–E; se vuoi, rinomina i tuoi nella tabella Nodi, oppure lascia 1–5. Controlla le coordinate nella tabella e correggi quelle che non sono cadute sulla griglia.

3. Vincoli e cerniera

1. Fai clic sul nodo A, apri Vincoli del nodo e scegli la Cerniera. Fai lo stesso per il nodo E.
2. Nella tabella Elementi, trova l'elemento da B a C e spunta la sua cerniera finale (la seconda casella in Cerniere di estremità).

La tabella Elementi: la cerniera è alla fine dell'elemento 2, nel nodo C

Una cerniera, non due

Basta incernierare la fine dell'elemento B–C: il momento in C è allora nullo, perché C–D non può trasmettere momento a un nodo a cui è collegato rigidamente solo lui. Spunta anche l'inizio di C–D e non cambia nulla. Ma se spunti una cerniera anche in B, il telaio diventa un meccanismo. Prova: EduBeam ti mostra come si muove.

4. Carico

Carichi → Aggiungi carico su elemento → Carico uniforme, elemento B–C, fz = 10 kN/m. Ripeti per l'elemento C–D. La trave è orizzontale, quindi qui la casella LCS non fa differenza.

5. Risultati

Le opzioni di visualizzazione partono con deformata, momento flettente e reazioni attivi. Spunta N (x) e V_z (x) per vedere il resto.

Momento flettente e reazioni

Sforzo normale

Taglio

Deformata

6. Verifica a mano

Reazioni verticali. Per simmetria, ogni base porta metà del carico:

$$V_A = V_E = \frac{q \cdot 8}{2} = 40\ \text{kN}$$

Reazioni orizzontali. Scrivi l'equilibrio alla rotazione attorno alla cerniera C per la metà sinistra del telaio. Lì il momento deve essere nullo:

$$V_A \cdot 4 - H_A \cdot 4 - q \cdot 4 \cdot 2 = 0 \quad\Rightarrow\quad H_A = \frac{160 - 80}{4} = 20\ \text{kN}$$

Entrambe le basi spingono verso l'interno con 20 kN; è questa spinta orizzontale a rendere efficiente un telaio a tre cerniere.

Forze interne.

Grandezza	Formula	Valore a mano	EduBeam
Reazioni verticali	$qL/2$	40 kN	40 kN
Reazioni orizzontali	da $M_C = 0$	20 kN	20 kN
Momento negli spigoli B e D	$H \cdot h$	80 kNm, fibre esterne tese	−80 kNm
Momento nella cerniera C		0	0
Sforzo normale nelle colonne	$-V_A$	−40 kN	−40 kN
Sforzo normale nella trave	$-H_A$	−20 kN	−20 kN
Taglio nelle colonne	$H_A$	20 kN	−20 kN (A–B), +20 kN (D–E)
Taglio nella trave in B	$V_A$	40 kN	40 kN
Taglio nella trave in C	$V_A - 4q$	0	0
Taglio nella trave in D	$V_A - 8q$	−40 kN	−40 kN

Le due colonne hanno taglio di segno opposto pur portando la stessa forza, perché gli assi locali di ogni elemento seguono il suo verso: A–B è disegnato verso l'alto e D–E verso il basso. Scambia i nodi di una colonna e il suo segno si inverte.

Nella trave $M(x) = -80 + 40x - 5x^2$ kNm (x misurato da B), che si annulla nella cerniera e non è mai positivo: tutta la trave ha momento negativo (fibre superiori tese). Il taglio $V(x) = 40 - 10x$ si annulla esattamente in C, quindi anche l'estremo del momento è nella cerniera.

Spostamento. La cerniera C si abbassa di 43,1 mm (Risultati → Risultati nodali, Dz di C). Deriva dalla flessione di tutte e quattro le aste ed è un buon esercizio sul principio dei lavori virtuali.

7. Sperimenta

• Togli la spunta alla cerniera in C. Il telaio diventa una volta iperstatico; i momenti negli spigoli diminuiscono e in mezzeria compare un momento positivo. Ora la sezione conta: prova una trave più rigida.
• Incastra le basi (scegli il vincolo Incastro). In A ed E compaiono momenti.
• Aggiungi un carico orizzontale: un carico nodale Fx = 10 kN in B. Il telaio trasla lateralmente e le reazioni non sono più simmetriche. Verificale con le stesse tre equazioni e $M_C = 0$.
• Spunta una cerniera anche in B. Il telaio diventa un meccanismo, ed EduBeam anima il modo in cui può muoversi.