EduBeam

Elemento reticolare ​

Un elemento reticolare porta solo sforzo normale. In EduBeam non esiste un tipo di elemento reticolare separato: un'asta reticolare è un elemento trave con entrambe le cerniere di estremità spuntate, il che elimina per condensazione i termini flessionali e lascia la rigidezza assiale riportata qui sotto.

LEA
Schema dell'elemento reticolare 2D

Gradi di libertà ​

L'elemento reticolare 2D ha due GdL in ciascun nodo:

  • Traslazione (Dx): spostamento lungo l'asse X.
  • Traslazione (Dz): spostamento lungo l'asse Z.

Matrice di rigidezza locale ​

La matrice di rigidezza locale di un elemento reticolare è:

Kl=(EAL0−EAL00000−EAL0EAL00000)\mathbf{K_l} = \begin{pmatrix} \dfrac{EA}{L} & 0 & -\dfrac{EA}{L} & 0 \\[2ex] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1ex] -\dfrac{EA}{L} & 0 & \dfrac{EA}{L} & 0 \\[2ex] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

dove:

  • EE è il modulo elastico del materiale
  • AA è l'area della sezione dell'asta
  • LL è la lunghezza dell'asta

Matrice di trasformazione ​

La matrice di trasformazione dell'elemento, T\mathbf{T}, serve a trasformare la matrice di rigidezza locale nel sistema di coordinate globale.

T=(cos⁡(α)sin⁡(α)00−sin⁡(α)cos⁡(α)0000cos⁡(α)sin⁡(α)00−sin⁡(α)cos⁡(α))\mathbf{T} = \begin{pmatrix} \cos(\alpha) & \sin(\alpha) & 0 & 0 \\ -\sin(\alpha) & \cos(\alpha) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cos(\alpha) & \sin(\alpha) \\ 0 & 0 & -\sin(\alpha) & \cos(\alpha) \end{pmatrix}

Matrice di rigidezza globale ​

La matrice di rigidezza globale, Kg\mathbf{K_g}, si ottiene moltiplicando la matrice di trasformazione dell'elemento, T\mathbf{T}, per la matrice di rigidezza locale, Kl\mathbf{K_l}:

Kg=TT⋅Kl⋅T\mathbf{K_g} = \mathbf{T}^\mathsf{T} \cdot \mathbf{K_l} \cdot \mathbf{T}

Svolgendo il prodotto si ottiene:

Kg=EAl[c2cs−c2−cscss2−cs−s2−c2−csc2cs−cs−s2css2];    c=cos⁡(α)s=sin⁡(α)\mathbf{K_g}={ {EA}\over{l}}\left[\begin{array}{cccc} c^2&cs&-c^2&-cs\\ cs&s^2&-cs& -s^2\\ -c^2&-cs&c^2&cs\\ -cs&-s^2&cs&s^2 \end{array}\right];\;\;\begin{array}{c}c=\cos(\alpha)\\s=\sin(\alpha)\end{array}