Prutový prvek (nosník)

Jediným prvkem v EduBeam je dvouuzlový Timoshenkův nosník v rovině x–z. Oproti klasickému Eulerovu–Bernoulliho nosníku zahrnuje vliv smykové deformace, který je podstatný u vysokých nebo krátkých prutů a u štíhlých prutů mizí. Znaménková konvence je shrnuta na stránce konvence.

Schéma rovinného Timoshenkova nosníku

Stupně volnosti

Rovinný Timoshenkův nosník má v každém uzlu tři stupně volnosti:

• Posunutí (Dx): posun ve směru osy x.
• Posunutí (Dz): posun ve směru osy z.
• Pootočení (Ry): pootočení kolem osy y.

Zatížení se zadává ve směrech stupňů volnosti:

• Vodorovná síla (Fx): síla ve směru osy x.
• Svislá síla (Fz): síla ve směru osy z.
• Moment (My): moment kolem osy y.

Lokální matice tuhosti

Matice tuhosti nosníku v lokálních souřadnicích je

$\mathbf{K_l} = \begin{pmatrix} \frac{EA}{L} & 0 & 0 & -\frac{EA}{L} & 0 & 0 & \\[2ex] 0 & \frac{12 EI_y}{ L^3 (1+\varphi)} & \frac{-6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & 0 & \frac{-12 EI_y}{L^3 (1+\varphi)} & \frac{-6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} &\\[3ex] 0 & \frac{-6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & \frac{(4 + \varphi) EI_y}{L (1+\varphi)} & 0 & \frac{6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & \frac{(2 - \varphi) EI_y}{L (1+\varphi)} &\\[2ex] -\frac{EA}{L} & 0 & 0 & \frac{EA}{L} & 0 & 0 &\\[2ex] 0 & \frac{-12 EI_y}{L^3 (1+\varphi)} & \frac{6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & 0 & \frac{12 EI_y}{ L^3 (1+\varphi)} & \frac{6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} &\\[3ex] 0 & \frac{-6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & \frac{(2 - \varphi) EI_y}{L (1+\varphi)} & 0 & \frac{6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & \frac{(4 + \varphi) EI_y}{L (1+\varphi)} \end{pmatrix}$

kde

• $E$ je modul pružnosti materiálu,
• $A$ je plocha průřezu,
• $L$ je délka prutu,
• $I_y$ je moment setrvačnosti průřezu k ose y,
• $\varphi$ je bezrozměrný parametr smykové poddajnosti

$\varphi = \frac{12\,E I_y}{k\,G\,A\,L^2}$

s $G$ smykovým modulem a $k$ smykovým součinitelem průřezu (účinná smyková plocha $kA$). Pro $\varphi \to 0$ (štíhlý prut nebo velmi velké $k$) matice přechází v matici tuhosti Eulerova–Bernoulliho nosníku.

Koncové klouby

Kloub na konci prvku uvolní příslušný rotační stupeň volnosti: pootočení se z matice 6 × 6 vyloučí statickou kondenzací ($M = 0$ na daném konci) a prvek se sestavuje se zbývajícími stupni volnosti. Při uvolnění obou konců zůstanou jen osové členy a prvek se chová jako příhradový prut.

Prvková zatížení

Spojitá, osamělá i teplotní zatížení se převádějí na ekvivalentní uzlové zatížení $\mathbf{f}_{eq}$ (záporně vzaté primární koncové síly) a přičítají se ke globálnímu vektoru zatížení. Po řešení se vnitřní síly po délce prutu dopočítají z koncových posunů a z přesného partikulárního řešení pro dané prvkové zatížení, takže průběhy jsou po délce prutu přesné.

Transformační matice

Transformační matice prvku $\mathbf{T}$ převádí lokální matici tuhosti do globálního souřadného systému.

$\mathbf{T} = \begin{pmatrix} \cos(\alpha) & \sin(\alpha) & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -\sin(\alpha) & \cos(\alpha) & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cos(\alpha) & \sin(\alpha) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -\sin(\alpha) & \cos(\alpha) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Globální matice tuhosti

Globální matice tuhosti $\mathbf{K_g}$ vznikne z transformační matice $\mathbf{T}$ a lokální matice tuhosti $\mathbf{K_l}$:

$\mathbf{K_g} = \mathbf{T}^\mathsf{T} \cdot \mathbf{K_l} \cdot \mathbf{T}$