教程：三铰刚架

三铰刚架是静定结构：三个平衡方程加上铰处 $M = 0$ 的条件，即可求出全部四个支座反力。因此它非常适合用来核对 EduBeam 绘出的每一个数值。大约需要 15 分钟。

如果只想自己探索，可以打开完成的模型。

问题描述

两根 4 m 高的柱，柱脚 A 和 E 为固定铰支座，相距 8 m。
顶部为一根水平横梁 B–D，跨中 C 处有一个铰。
整根横梁上作用均布荷载 $q = 10$ kN/m。
钢材（ $E = 210$ GPa， $G = 81$ GPa），IPE 300（ $A = 53.8$ cm²， $I_y = 8356$ cm⁴， $h = 300$ mm）。

节点	X [m]	Z [m]	支座
A	0	0	固定铰支座
B	0	−4
C	4	−4	（横梁中的铰）
D	8	−4
E	8	0	固定铰支座

记住 z 轴指向下，因此柱顶位于 Z = −4。

1. 材料和截面

清空结构（勾选删除材料和删除截面）。
材料 → 材料库 → Steel (S235)。
截面 → 添加截面：面积 = 0.00538、Iy = 8.356e-5、高度 = 0.3、剪切系数 = 1。

截面只影响位移。这个刚架是静定的，因此其内力完全不依赖于 $E$ 、 $A$ 或 $I$ 。

2. 绘制刚架

最快的方法是用鼠标画一条连续折线：

确认吸附到网格已开启（S 标记）。
单元标签页 → 第二个添加单元按钮（光标图标）。
依次点击 (0, 0)、(0, −4)、(4, −4)、(8, −4) 和 (8, 0)。借助标尺和十字准线找到这些点。每次点击都会添加一个节点，并把它与上一个节点相连。
按 Esc 结束，再按 F 使刚架适配屏幕。

现在你有五个节点和四个单元。本页图中的节点标记为 A–E；如果愿意，可以在节点表格中重命名，也可以保留 1–5。在表格中检查坐标，修正没有落在网格上的点。

3. 支座和铰

点击节点 A，打开节点支座，选择固定铰支座。对节点 E 做同样操作。
在单元表格中找到从 B 到 C 的单元，勾选它的终点铰（端部铰接中的第二个复选框）。

一个铰，而不是两个

在单元 B–C 的终点设铰就够了：此时 C 处的弯矩为零，因为 C–D 无法把弯矩传入一个只有它自己刚性连接的节点。再勾选 C–D 的起点铰，结果也不会改变。但如果在 B 处也勾选一个铰，刚架就会变成机构。试试看：EduBeam 会显示它如何运动。

4. 荷载

荷载 → 添加单元荷载 → 均布荷载，单元 B–C，fz = 10 kN/m。对单元 C–D 重复同样操作。横梁是水平的，因此局部坐标系复选框在这里没有影响。

5. 结果

显示选项一开始就开启了变形图、弯矩和支反力。勾选 N (x) 和 V_z (x) 可以看到其余结果。

6. 手算核对

竖向支反力。 由对称性，每个柱脚承担一半荷载：

$V_A = V_E = \frac{q \cdot 8}{2} = 40\ \text{kN}$

水平支反力。 对刚架左半部分绕铰 C 取矩。该处弯矩必须为零：

$V_A \cdot 4 - H_A \cdot 4 - q \cdot 4 \cdot 2 = 0 \quad\Rightarrow\quad H_A = \frac{160 - 80}{4} = 20\ \text{kN}$

两个柱脚都向内推 20 kN；正是这个水平推力使三铰刚架受力高效。

内力。

物理量	公式	手算值	EduBeam
竖向支反力	$qL/2$	40 kN	40 kN
水平支反力	由 $M_C = 0$	20 kN	20 kN
角点 B 和 D 处的弯矩	$H \cdot h$	80 kNm，外侧受拉	−80 kNm
铰 C 处的弯矩		0	0
柱中轴力	$-V_A$	−40 kN	−40 kN
横梁中轴力	$-H_A$	−20 kN	−20 kN
柱中剪力	$H_A$	20 kN	−20 kN (A–B)，+20 kN (D–E)
横梁 B 处剪力	$V_A$	40 kN	40 kN
横梁 C 处剪力	$V_A - 4q$	0	0
横梁 D 处剪力	$V_A - 8q$	−40 kN	−40 kN

两根柱承受的力相同，剪力符号却相反，这是因为每个单元的局部坐标轴跟随其方向：A–B 是向上画的，D–E 是向下画的。交换其中一根柱的节点顺序，它的符号就会翻转。

横梁中 $M(x) = -80 + 40x - 5x^2$ kNm（x 从 B 起算），它在铰处为零且从不为正：整根横梁都受负弯矩。剪力 $V(x) = 40 - 10x$ 恰好在 C 处降为零，因此弯矩的极值也在铰处。

位移。 铰 C 下沉 43.1 mm（结果 → 节点结果，C 的 Dz）。它来自全部四根杆件的弯曲，是练习虚功原理的好题目。

7. 动手试试

取消 C 处的铰。刚架变为一次超静定；角点弯矩减小，跨中出现正弯矩。此时截面就有影响了：试试刚度更大的横梁。
固定柱脚（选择固定端支座）。A 和 E 处出现弯矩。
添加水平荷载：在 B 处施加节点荷载 Fx = 10 kN。刚架发生侧移，支反力不再对称。用同样的三个方程和 $M_C = 0$ 核对它们。
再在 B 处勾选一个铰。刚架此时成为机构，EduBeam 会以动画显示它如何运动。

教程：三铰刚架 ​

问题描述 ​

1. 材料和截面 ​

2. 绘制刚架 ​

3. 支座和铰 ​

4. 荷载 ​

5. 结果 ​

6. 手算核对 ​

7. 动手试试 ​