Tutoriel : portique à trois articulations

Un portique à trois articulations est isostatique : les trois équations d’équilibre plus la condition $M = 0$ à la rotule donnent les quatre réactions d’appui. C’est donc un modèle idéal pour vérifier chaque nombre qu’EduBeam affiche. Comptez environ 15 minutes.

Le portique terminé : moment fléchissant et réactions

Ouvrez le modèle terminé si vous voulez seulement l’explorer.

Le problème

• Deux poteaux de 4 m, articulés à leurs pieds A et E, distants de 8 m.
• Une poutre horizontale B–D en tête, avec une rotule à mi-portée en C.
• Une charge uniforme $q = 10$ kN/m sur toute la poutre.
• Acier ($E = 210$ GPa, $G = 81$ GPa), IPE 300 ($A = 53{,}8$ cm², $I_y = 8356$ cm⁴, $h = 300$ mm).

Nœud	X [m]	Z [m]	Appui
A	0	0	articulation
B	0	−4
C	4	−4	(rotule dans la poutre)
D	8	−4
E	8	0	articulation

N’oubliez pas que z pointe vers le bas : la tête des poteaux est donc en Z = −4.

1. Matériau et section

1. Effacer la structure (cochez Supprimer les matériaux et Supprimer les sections).
2. Matériaux → Bibliothèque de matériaux → Steel (S235).
3. Sections → Ajouter une section : Aire = 0,00538, Iy = 8,356e-5, Hauteur = 0,3, Coefficient de cisaillement = 1.

La section n’influe que sur les déplacements. Ce portique est isostatique : ses efforts internes ne dépendent pas du tout de $E$, $A$ ou $I$.

2. Dessinez le portique

Le plus rapide est de tracer une seule polyligne à la souris :

1. Vérifiez que Magnétisme à la grille est activé (la pastille S).
2. Onglet Éléments → le second bouton Ajouter un élément (icône de curseur).
3. Cliquez en (0, 0), puis en (0, −4), (4, −4), (8, −4) et (8, 0). Aidez-vous des règles et du réticule pour trouver les points. Chaque clic ajoute un nœud et le relie au précédent.
4. Appuyez sur Échap pour terminer, puis sur F pour ajuster le portique à l’écran.

Vous avez maintenant cinq nœuds et quatre éléments. Les images de cette page nomment les nœuds A–E ; renommez les vôtres dans le tableau Nœuds si vous le souhaitez, ou gardez 1–5. Vérifiez les coordonnées dans le tableau et corrigez celles qui ont manqué la grille.

3. Appuis et rotule

1. Cliquez sur le nœud A, ouvrez Appuis du nœud et choisissez Rotule. Faites de même pour le nœud E.
2. Dans le tableau Éléments, trouvez l’élément allant de B à C et cochez sa rotule de fin (la seconde case de Rotules d’extrémité).

Le tableau des éléments : la rotule est à la fin de l’élément 2, au nœud C

Une rotule, pas deux

Placer une rotule à la fin de l’élément B–C suffit : le moment en C est alors nul, car C–D ne peut pas transmettre de moment à un nœud qu’il est le seul à tenir rigidement. Cochez aussi le début de C–D et rien ne change. Mais ajoutez une rotule en B, et le portique devient un mécanisme. Essayez : EduBeam vous montre comment il se déplace.

4. Charge

Charges → Ajouter une charge d’élément → Charge uniformément répartie, élément B–C, fz = 10 kN/m. Recommencez pour l’élément C–D. La poutre est horizontale : la case LCS (repère local) ne change rien ici.

5. Résultats

Les options d’affichage démarrent avec la déformée, le moment fléchissant et les réactions activés. Cochez N (x) et V_z (x) pour voir le reste.

Moment fléchissant et réactions

Effort normal

Effort tranchant

Déformée

6. Vérifiez à la main

Réactions verticales. Par symétrie, chaque pied reprend la moitié de la charge :

$V_A = V_E = \frac{q \cdot 8}{2} = 40\ \text{kN}$

Réactions horizontales. Écrivez l’équilibre des moments par rapport à la rotule C pour la moitié gauche du portique. Le moment y est nécessairement nul :

$V_A \cdot 4 - H_A \cdot 4 - q \cdot 4 \cdot 2 = 0 \quad\Rightarrow\quad H_A = \frac{160 - 80}{4} = 20\ \text{kN}$

Les deux pieds poussent vers l’intérieur avec 20 kN ; c’est cette poussée horizontale qui rend le portique à trois articulations efficace.

Efforts internes.

Grandeur	Formule	À la main	EduBeam
Réactions verticales	$qL/2$	40 kN	40 kN
Réactions horizontales	d’après $M_C = 0$	20 kN	20 kN
Moment aux angles B et D	$H \cdot h$	80 kNm, fibre extérieure tendue	−80 kNm
Moment à la rotule C		0	0
Effort normal dans les poteaux	$-V_A$	−40 kN	−40 kN
Effort normal dans la poutre	$-H_A$	−20 kN	−20 kN
Effort tranchant dans les poteaux	$H_A$	20 kN	−20 kN (A–B), +20 kN (D–E)
Effort tranchant dans la poutre en B	$V_A$	40 kN	40 kN
Effort tranchant dans la poutre en C	$V_A - 4q$	0	0
Effort tranchant dans la poutre en D	$V_A - 8q$	−40 kN	−40 kN

Les deux poteaux ont des efforts tranchants de signes opposés alors qu’ils reprennent le même effort, car les axes locaux de chaque élément suivent son orientation : A–B est dessiné vers le haut et D–E vers le bas. Inversez les nœuds d’un poteau et son signe change.

Dans la poutre, $M(x) = -80 + 40x - 5x^2$ kNm (x mesuré depuis B), qui s’annule à la rotule et n’est jamais positif : toute la poutre est en moment négatif. L’effort tranchant $V(x) = 40 - 10x$ s’annule exactement en C, donc l’extremum du moment se trouve lui aussi à la rotule.

Déplacement. La rotule C descend de 43,1 mm (Résultats → Résultats nodaux, Dz de C). Ce déplacement provient de la flexion des quatre barres ; c’est un bon exercice pour le principe des travaux virtuels.

7. Expérimentez

• Décochez la rotule en C. Le portique devient hyperstatique de degré 1 ; les moments aux angles diminuent et un moment positif apparaît à mi-portée. La section compte maintenant : essayez une poutre plus rigide.
• Encastrez les pieds (choisissez l’appui Encastrement). Des moments apparaissent en A et E.
• Ajoutez une charge horizontale : une charge nodale Fx = 10 kN en B. Le portique se déplace latéralement et les réactions ne sont plus symétriques. Vérifiez-les avec les trois mêmes équations et $M_C = 0$.
• Cochez aussi une rotule en B. Le portique devient un mécanisme, et EduBeam anime la façon dont il peut se déplacer.