Покроковий приклад: тришарнірна рама

Тришарнірна рама статично визначувана: три рівняння рівноваги разом з умовою $M = 0$ у шарнірі дають усі чотири опорні реакції. Тому вона ідеально підходить для перевірки кожного числа, яке малює EduBeam. Розраховуйте приблизно на 15 хвилин.

Готова рама: згинальний момент і реакції

Відкрийте готову модель, якщо хочете її лише дослідити.

Задача

• Дві колони висотою 4 m із шарнірно-нерухомими опорами в основах A та E на відстані 8 m одна від одної.
• Горизонтальний ригель B–D зверху із шарніром посередині прольоту C.
• Рівномірно розподілене навантаження $q = 10$ kN/m на всьому ригелі.
• Сталь ($E = 210$ GPa, $G = 81$ GPa), IPE 300 ($A = 53{,}8$ cm², $I_y = 8356$ cm⁴, $h = 300$ mm).

Вузол	X [m]	Z [m]	Опора
A	0	0	шарнір
B	0	−4
C	4	−4	(шарнір у ригелі)
D	8	−4
E	8	0	шарнір

Пам'ятайте, що вісь z спрямована вниз, тож верх колон розташований у точці Z = −4.

1. Матеріал і переріз

1. Очистити модель (позначте Видалити матеріали та Видалити перерізи).
2. Матеріали → Бібліотека матеріалів → Steel (S235).
3. Перерізи → Додати переріз: Площа = 0.00538, Iy = 8.356e-5, Висота = 0.3, Коефіцієнт зсуву = 1.

Переріз впливає лише на переміщення. Ця рама статично визначувана, тож її внутрішні зусилля зовсім не залежать від $E$, $A$ чи $I$.

2. Накресліть раму

Найшвидше — однією ламаною лінією мишею:

1. Переконайтеся, що Прив'язка до сітки увімкнена (чип S).
2. Вкладка Елементи → друга кнопка Додати елемент (значок курсора).
3. Клацніть у точках (0, 0), потім (0, −4), (4, −4), (8, −4) і (8, 0). Щоб знайти точки, стежте за лінійками й перехрестям. Кожне клацання додає вузол і з'єднує його з попереднім.
4. Натисніть Esc, щоб завершити, а потім F, щоб вписати раму в екран.

Тепер у вас п'ять вузлів і чотири елементи. На рисунках тут вузли позначено A–E; за бажання перейменуйте свої в таблиці Вузли або залиште 1–5. Перевірте координати в таблиці й виправте ті, що не потрапили на сітку.

3. Опори й шарнір

1. Клацніть вузол A, відкрийте Опори вузла й виберіть Шарнір. Те саме зробіть для вузла E.
2. У таблиці Елементи знайдіть елемент від B до C і позначте його шарнір у кінці (другий прапорець у стовпці Кінцеві шарніри).

Таблиця елементів: шарнір у кінці елемента 2, у вузлі C

Один шарнір, а не два

Шарніра в кінці елемента B–C достатньо: момент у C тоді дорівнює нулю, бо C–D не може передати момент у вузол, який лише він утримує жорстко. Позначте ще й початок C–D — і нічого не зміниться. Але якщо позначити ще й шарнір у B, рама стане механізмом. Спробуйте: EduBeam покаже, як вона рухається.

4. Навантаження

Навантаження → Додати навантаження на елемент → Рівномірно розподілене навантаження, елемент B–C, fz = 10 kN/m. Повторіть для елемента C–D. Ригель горизонтальний, тож прапорець LCS тут нічого не змінює.

5. Результати

Спочатку в налаштуваннях відображення увімкнено деформовану схему, згинальний момент і реакції. Позначте N (x) і V_z (x), щоб побачити решту.

Згинальний момент і реакції

Поздовжня сила

Поперечна сила

Деформована схема

6. Перевірте вручну

Вертикальні реакції. За симетрією кожна основа сприймає половину навантаження:

$V_A = V_E = \frac{q \cdot 8}{2} = 40\ \text{kN}$

Горизонтальні реакції. Складіть рівняння моментів відносно шарніра C для лівої половини рами. Момент там має дорівнювати нулю:

$V_A \cdot 4 - H_A \cdot 4 - q \cdot 4 \cdot 2 = 0 \quad\Rightarrow\quad H_A = \frac{160 - 80}{4} = 20\ \text{kN}$

Обидві основи тиснуть усередину із силою 20 kN; саме цей горизонтальний розпір робить тришарнірну раму ефективною.

Внутрішні зусилля.

Величина	Формула	Ручний розрахунок	EduBeam
Вертикальні реакції	$qL/2$	40 kN	40 kN
Горизонтальні реакції	з $M_C = 0$	20 kN	20 kN
Момент у кутах B і D	$H \cdot h$	80 kNm, розтяг ззовні	−80 kNm
Момент у шарнірі C		0	0
Поздовжня сила в колонах	$-V_A$	−40 kN	−40 kN
Поздовжня сила в ригелі	$-H_A$	−20 kN	−20 kN
Поперечна сила в колонах	$H_A$	20 kN	−20 kN (A–B), +20 kN (D–E)
Поперечна сила в ригелі в B	$V_A$	40 kN	40 kN
Поперечна сила в ригелі в C	$V_A - 4q$	0	0
Поперечна сила в ригелі в D	$V_A - 8q$	−40 kN	−40 kN

Дві колони мають протилежні знаки поперечної сили, хоча несуть однакову силу, бо локальні осі кожного елемента відповідають його напряму: A–B накреслено вгору, а D–E — вниз. Поміняйте вузли однієї колони — і її знак зміниться.

У ригелі $M(x) = -80 + 40x - 5x^2$ kNm (x від B); він дорівнює нулю в шарнірі й ніде не є додатним: увесь ригель згинається з розтягом зверху. Поперечна сила $V(x) = 40 - 10x$ спадає до нуля саме в C, тож екстремум моменту також у шарнірі.

Переміщення. Шарнір C опускається на 43,1 mm (Результати → Вузлові результати, Dz вузла C). Це наслідок згину всіх чотирьох стрижнів і гарна вправа на принцип можливих переміщень.

7. Експериментуйте

• Зніміть шарнір у C. Рама стає один раз статично невизначуваною; моменти в кутах зменшуються, а посередині прольоту з'являється додатний момент. Тепер переріз має значення: спробуйте жорсткіший ригель.
• Защемте основи (виберіть опору Защемлення). У A та E з'являються моменти.
• Додайте горизонтальне навантаження: вузлове навантаження Fx = 10 kN у B. Рама зміщується вбік, і реакції вже не симетричні. Перевірте їх тими самими трьома рівняннями та умовою $M_C = 0$.
• Позначте шарнір і в B. Рама тепер є механізмом, і EduBeam анімує, як вона може рухатися.