손 계산으로 결과 검증

EduBeam은 모든 엔지니어에게 필요한 습관, 즉 대략이라도 직접 재현할 수 없는 숫자는 믿지 않는 습관을 연습하기에 좋은 곳입니다. 이 페이지는 대표적인 경우에 대한 닫힌 해 공식과 앱이 보여 주는 결과를 함께 제시하므로, 각 모델을 직접 만들어 비교해 볼 수 있습니다.

손 계산 검증까지 포함한 완전한 풀이 예제는 3힌지 라멘과 평면 트러스 튜토리얼을 참고하세요.

따로 언급하지 않으면 모든 경우에 같은 강재 단면을 씁니다: $E = 210\,000$ MPa, $G = 81\,000$ MPa, $A = 28.5$ cm², $I_y = 1943$ cm⁴, $h = 200$ mm, $k = 1$ (IPE 200).

$$EI = 210 \times 10^9 \cdot 1.943 \times 10^{-5} = 4.080 \times 10^6\ \text{Nm}^2$$

숫자가 조금씩 다른 이유

EduBeam은 Timoshenko 보를 사용하며, 고전적인 Euler–Bernoulli 휨 처짐에 전단 처짐 $\Delta w_s$가 더해집니다. 정정 구조에서는 회전각, 반력, 부재력에 영향이 없습니다. 세장한 부재에서는 추가 항이 아주 작으며, 아래 표에 이를 따로 표시했습니다.

단순보, 등분포하중

$L = 6$ m, $q = 12$ kN/m. 지점: 절점 1 Dx + Dz, 절점 2 Dz.

물리량	공식	값	EduBeam
반력	$qL/2$	36 kN	36 kN
$V_{max}$	$qL/2$	36 kN	36 kN
$M_{max}$ (경간 중앙)	$qL^2/8$	54 kNm	54 kNm
단부 회전각	$qL^3/(24EI)$	0.02647 rad	0.02647 rad
경간 중앙 처짐(휨)	$5qL^4/(384EI)$	49.63 mm	—
경간 중앙 처짐(전단)	$qL^2/(8kGA)$	0.23 mm	—
경간 중앙 처짐(합계)	합	49.86 mm	49.86 mm

경간 중앙 처짐을 읽으려면 절점 추가(마우스) → 구조물에 연결로 경간 중앙에 절점을 추가하세요. 요소를 분할해도 결과는 바뀌지 않습니다.

캔틸레버, 자유단 하중

$L = 4$ m, 자유단에 아래 방향 $F = 18$ kN. 지점: 절점 1 Dx + Dz + Ry.

물리량	공식	값	EduBeam
연직 반력	$F$	18 kN	18 kN
고정단 모멘트	$FL$	72 kNm	72 kNm
자유단 회전각	$FL^2/(2EI)$	0.03529 rad	0.03529 rad
자유단 처짐(휨)	$FL^3/(3EI)$	94.11 mm	—
자유단 처짐(전단)	$FL/(kGA)$	0.31 mm	—
자유단 처짐(합계)	합	94.42 mm	94.42 mm

여기서 전단 항은 0.3 %입니다. 캔틸레버를 1 m로 줄이면 5 %가 되는데, 전단 보정계수가 필요한 이유가 바로 이것입니다.

양단 고정보, 등분포하중

$L = 6$ m, $q = 12$ kN/m. 두 절점 모두 Dx + Dz + Ry.

물리량	공식	값
반력	$qL/2$	36 kN
지점 모멘트	$qL^2/12$	36 kNm (부모멘트)
경간 중앙 모멘트	$qL^2/24$	18 kNm (정모멘트)
경간 중앙 처짐	$qL^4/(384EI) + qL^2/(8kGA)$	9.93 + 0.23 = 10.16 mm

단순보에서 시작해 두 절점의 Ry를 체크하고 휨모멘트도가 어떻게 이동하는지 보세요.

일단 고정 타단 롤러 보, 등분포하중

$L = 6$ m, $q = 12$ kN/m. 절점 1 Dx + Dz + Ry, 절점 2 Dz.

물리량	공식	값
고정단 반력	$5qL/8$	45 kN
롤러 반력	$3qL/8$	27 kN
고정단 모멘트	$qL^2/8$	54 kNm (부모멘트)
최대 정모멘트	고정단에서 $x = 5L/8$ 위치의 $9qL^2/128$	3.75 m에서 30.4 kNm

앱이 국부 극값에 자동으로 레이블을 붙이므로 값과 함께 (요소를 따라 잰 위치로) 발생 위치도 읽을 수 있습니다.

2부재 트러스

(0, 0)과 (4, 0)의 힌지 지점에서 시작한 두 부재가 (2, −2)(2 m 위의 꼭대기)에서 만납니다. 두 부재 모두 양 끝의 단부 힌지를 체크하고, 꼭대기에 연직 하중 $F = 20$ kN(아래 방향, 즉 Fz = 20)을 가합니다.

각 부재는 45° 기울어져 있고 길이는 $L = 2\sqrt{2}$ m입니다. 대칭이므로 각 부재에는 다음과 같은 축력(압축)이 작용합니다.

$$N = -\frac{F}{2 \sin 45^\circ} = -14.14\ \text{kN (compression)}$$

각 지점은 연직으로 10 kN, 수평으로 ±10 kN을 받습니다. N (x) 다이어그램과 반력을 확인하세요.

단순보의 온도구배

$L = 8$ m, $\Delta T_b - \Delta T_t = -10$ K (상연이 더 따뜻함), $\alpha = 12 \times 10^{-6}$, $h = 0.2$ m.

보가 자유롭게 휠 수 있으므로 부재력은 생기지 않습니다. 곡률은 다음과 같습니다.

$$\kappa = \frac{\alpha\,(\Delta T_b - \Delta T_t)}{h} = \frac{12 \times 10^{-6} \cdot (-10)}{0.2} = -6 \times 10^{-4}\ \text{m}^{-1}$$

경간 중앙 처짐은 $\kappa L^2 / 8 = -4.8$ mm (위 방향)입니다. 이제 양 끝의 Ry를 구속하면 곡률이 막히고, 경간 전체에 걸쳐 일정한 모멘트 $M = EI\kappa = 2.45$ kNm가 생깁니다.

강제변위

일단 고정 타단 롤러 보에서 하중을 빼고 롤러에 Dz = 10 mm(지점 침하)를 지정합니다. 캔틸레버 끝을 $w$만큼 아래로 밀어 내리는 데 필요한 반력은 $R = 3EIw/L^3 = 0.567$ kN이고, 고정단 모멘트는 $RL = 3.40$ kNm입니다. 등분포하중을 다시 추가하면 결과가 선형으로 중첩됩니다.

직접 검증할 때의 팁

• 단위 칩이 늘 보이게 두세요. 결과가 어긋나는 원인은 대부분 단위 실수입니다.
• 직접강성법을 배울 때는 강성 행렬 창을 이용해 요소 하나를 이론 매뉴얼과 비교하세요.
• 정확한 수치는 반올림된 다이어그램 레이블 대신 결과 탭과 마우스 오버 툴팁에서 읽으세요. 결과 탭의 CSV 내보내기나 복사를 쓰면 반력도 스프레드시트에서 바로 쓸 수 있는 형태로 얻을 수 있습니다.
• 4 · 10¹ 대신 40으로 읽으려면 설정에서 숫자 형식을 자동으로 두세요.
• 검증한 모델을 동료나 교수자에게 넘길 때는 모델 공유를 쓰세요.