EduBeam

보 요소 ​

EduBeam의 유일한 요소는 x–z 평면의 2절점 Timoshenko 보입니다. 고전적인 Euler–Bernoulli 보에 비해 전단 변형이 추가되는데, 이는 춤이 깊거나 짧은 부재에서 중요하고 세장한 부재에서는 사라집니다. 부호 규약은 부호 규약 페이지에 정리되어 있습니다.

LEA
2D Timoshenko 보 개요도

자유도 ​

2D Timoshenko 보는 각 절점에 자유도(DOF)가 세 개 있습니다.

  • 이동 (Dx): X축 방향 변위.
  • 이동 (Dz): Z축 방향 변위.
  • 회전 (Ry): Y축에 대한 회전.

하중은 자유도 방향으로 지정합니다.

  • 수평력 (Fx): X축 방향으로 가하는 힘.
  • 연직력 (Fz): Z축 방향으로 가하는 힘.
  • 모멘트 (My): Y축에 대해 가하는 모멘트.

국부 강성 행렬 ​

국부 좌표계에서 보의 강성 행렬은 다음과 같습니다.

Kl=(EAL00−EAL00012EIyL3(1+φ)−6EIyL2(1+φ)0−12EIyL3(1+φ)−6EIyL2(1+φ)0−6EIyL2(1+φ)(4+φ)EIyL(1+φ)06EIyL2(1+φ)(2−φ)EIyL(1+φ)−EAL00EAL000−12EIyL3(1+φ)6EIyL2(1+φ)012EIyL3(1+φ)6EIyL2(1+φ)0−6EIyL2(1+φ)(2−φ)EIyL(1+φ)06EIyL2(1+φ)(4+φ)EIyL(1+φ))\mathbf{K_l} = \begin{pmatrix} \dfrac{EA}{L} & 0 & 0 & -\dfrac{EA}{L} & 0 & 0 & \\[2ex] 0 & \dfrac{12 EI_y}{ L^3 (1+\varphi)} & \dfrac{-6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & 0 & \dfrac{-12 EI_y}{L^3 (1+\varphi)} & \dfrac{-6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} &\\[3ex] 0 & \dfrac{-6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & \dfrac{(4 + \varphi) EI_y}{L (1+\varphi)} & 0 & \dfrac{6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & \dfrac{(2 - \varphi) EI_y}{L (1+\varphi)} &\\[2ex] -\dfrac{EA}{L} & 0 & 0 & \dfrac{EA}{L} & 0 & 0 &\\[2ex] 0 & \dfrac{-12 EI_y}{L^3 (1+\varphi)} & \dfrac{6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & 0 & \dfrac{12 EI_y}{ L^3 (1+\varphi)} & \dfrac{6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} &\\[3ex] 0 & \dfrac{-6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & \dfrac{(2 - \varphi) EI_y}{L (1+\varphi)} & 0 & \dfrac{6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & \dfrac{(4 + \varphi) EI_y}{L (1+\varphi)} \end{pmatrix}

여기서

  • EE는 재료의 탄성계수
  • AA는 보의 단면적
  • LL은 보의 길이
  • IyI_y는 y축에 대한 단면2차모멘트
  • φ\varphi는 무차원 전단 유연도 매개변수입니다

φ=12 EIyk G A L2\varphi = \frac{12\,E I_y}{k\,G\,A\,L^2}

GG는 전단탄성계수, kk는 단면의 전단 보정계수입니다(유효 전단 면적 kAkA). φ→0\varphi \to 0(세장한 보 또는 아주 큰 kk)이면 이 행렬은 Euler–Bernoulli 보의 강성 행렬이 됩니다.

단부 힌지 ​

요소 끝의 힌지는 해당 회전 자유도를 해제합니다. 회전 자유도는 6 × 6 행렬에서 축약되고(정적 축약, 그 끝에서 M=0M = 0), 요소는 남은 자유도로 조립됩니다. 양 끝을 모두 해제하면 축방향 항만 남아 요소가 트러스 부재처럼 거동합니다.

요소하중 ​

분포하중, 집중하중, 온도하중은 등가 절점하중 feq\mathbf{f}_{eq}(고정단력의 부호를 바꾼 값)로 변환되어 전체 하중 벡터에 더해집니다. 해를 구한 뒤에는 단부 변위와 요소하중의 정확한 특해로부터 요소를 따른 부재력을 복원하므로, 다이어그램은 부재 전체에서 정확합니다.

좌표 변환 행렬 ​

요소 좌표 변환 행렬 T\mathbf{T}는 국부 강성 행렬을 전체 좌표계로 변환하는 데 쓰입니다.

T=(cos⁡(α)sin⁡(α)0000−sin⁡(α)cos⁡(α)0000001000000cos⁡(α)sin⁡(α)0000−sin⁡(α)cos⁡(α)0000001)\mathbf{T} = \begin{pmatrix} \cos(\alpha) & \sin(\alpha) & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -\sin(\alpha) & \cos(\alpha) & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cos(\alpha) & \sin(\alpha) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -\sin(\alpha) & \cos(\alpha) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

전체 강성 행렬 ​

전체 강성 행렬 Kg\mathbf{K_g}는 요소 좌표 변환 행렬 T\mathbf{T}와 국부 강성 행렬 Kl\mathbf{K_l}을 곱해 얻습니다.

Kg=TT⋅Kl⋅T\mathbf{K_g} = \mathbf{T}^\mathsf{T} \cdot \mathbf{K_l} \cdot \mathbf{T}