EduBeam

เอลิเมนต์คาน ​

เอลิเมนต์เพียงชนิดเดียวใน EduBeam คือ คาน Timoshenko แบบสองโหนดในระนาบ x–z เมื่อเทียบกับคาน Euler–Bernoulli แบบดั้งเดิม คาน Timoshenko เพิ่มการเสียรูปเนื่องจากแรงเฉือน ซึ่งมีผลกับชิ้นส่วนที่ลึกหรือสั้น และแทบหายไปสำหรับชิ้นส่วนชะลูด ข้อตกลงเรื่องเครื่องหมายสรุปไว้ในหน้า ข้อตกลง

LEA
แผนภาพของคาน Timoshenko 2 มิติ

องศาความเป็นอิสระ ​

คาน Timoshenko 2 มิติมีองศาความเป็นอิสระ (DOF) สามองศาที่แต่ละโหนด:

  • การเลื่อน (Dx): การกระจัดตามแกน X
  • การเลื่อน (Dz): การกระจัดตามแกน Z
  • การหมุน (Ry): การหมุนรอบแกน Y

แรงกระทำกำหนดในทิศของ DOF:

  • แรงแนวนอน (Fx): แรงที่กระทำตามแกน X
  • แรงแนวดิ่ง (Fz): แรงที่กระทำตามแกน Z
  • โมเมนต์ (My): โมเมนต์ที่กระทำรอบแกน Y

เมทริกซ์ความแข็งในพิกัดท้องถิ่น ​

เมทริกซ์ความแข็งของคานในพิกัดท้องถิ่นคือ

Kl=(EAL00−EAL00012EIyL3(1+φ)−6EIyL2(1+φ)0−12EIyL3(1+φ)−6EIyL2(1+φ)0−6EIyL2(1+φ)(4+φ)EIyL(1+φ)06EIyL2(1+φ)(2−φ)EIyL(1+φ)−EAL00EAL000−12EIyL3(1+φ)6EIyL2(1+φ)012EIyL3(1+φ)6EIyL2(1+φ)0−6EIyL2(1+φ)(2−φ)EIyL(1+φ)06EIyL2(1+φ)(4+φ)EIyL(1+φ))\mathbf{K_l} = \begin{pmatrix} \dfrac{EA}{L} & 0 & 0 & -\dfrac{EA}{L} & 0 & 0 & \\[2ex] 0 & \dfrac{12 EI_y}{ L^3 (1+\varphi)} & \dfrac{-6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & 0 & \dfrac{-12 EI_y}{L^3 (1+\varphi)} & \dfrac{-6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} &\\[3ex] 0 & \dfrac{-6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & \dfrac{(4 + \varphi) EI_y}{L (1+\varphi)} & 0 & \dfrac{6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & \dfrac{(2 - \varphi) EI_y}{L (1+\varphi)} &\\[2ex] -\dfrac{EA}{L} & 0 & 0 & \dfrac{EA}{L} & 0 & 0 &\\[2ex] 0 & \dfrac{-12 EI_y}{L^3 (1+\varphi)} & \dfrac{6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & 0 & \dfrac{12 EI_y}{ L^3 (1+\varphi)} & \dfrac{6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} &\\[3ex] 0 & \dfrac{-6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & \dfrac{(2 - \varphi) EI_y}{L (1+\varphi)} & 0 & \dfrac{6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & \dfrac{(4 + \varphi) EI_y}{L (1+\varphi)} \end{pmatrix}

โดยที่:

  • EE คือมอดุลัสของยังของวัสดุ
  • AA คือพื้นที่หน้าตัดของคาน
  • LL คือความยาวของคาน
  • IyI_y คือโมเมนต์ความเฉื่อยของหน้าตัดรอบแกน y
  • φ\varphi คือพารามิเตอร์ความยืดหยุ่นต่อแรงเฉือนที่ไม่มีหน่วย

φ=12 EIyk G A L2\varphi = \frac{12\,E I_y}{k\,G\,A\,L^2}

โดย GG คือมอดุลัสเฉือน และ kk คือ สัมประสิทธิ์เฉือน ของหน้าตัด (พื้นที่รับแรงเฉือนประสิทธิผล kAkA) เมื่อ φ→0\varphi \to 0 (คานชะลูด หรือ kk มีค่ามาก) เมทริกซ์จะลดรูปเป็นเมทริกซ์ความแข็งของคาน Euler–Bernoulli

จุดหมุนที่ปลาย ​

จุดหมุนที่ปลายเอลิเมนต์ปลด DOF การหมุนที่สอดคล้องกัน: มุมหมุนถูกลดรูปออกจากเมทริกซ์ 6 × 6 (static condensation, M=0M = 0 ที่ปลายนั้น) และเอลิเมนต์ถูกประกอบเข้าระบบด้วย DOF ที่เหลือ เมื่อปลดทั้งสองปลาย จะเหลือเพียงพจน์ตามแนวแกน และเอลิเมนต์ทำงานเหมือน ชิ้นส่วนโครงถัก

แรงกระทำบนเอลิเมนต์ ​

แรงแผ่กระจาย แรงกระทำเป็นจุด และแรงกระทำเนื่องจากอุณหภูมิ ถูกแปลงเป็น แรงกระทำที่โหนดเทียบเท่า feq\mathbf{f}_{eq} (ค่าลบของแรงปลายยึดแน่น หรือ fixed-end forces) แล้วรวมเข้าในเวกเตอร์แรงรวม หลังคำนวณแล้ว แรงภายในตามเอลิเมนต์จะได้จากการกระจัดที่ปลายบวกกับผลเฉลยเฉพาะ (particular solution) ที่แม่นตรงของแรงกระทำบนเอลิเมนต์ แผนภาพจึงแม่นตรงตลอดชิ้นส่วน

เมทริกซ์การแปลง ​

เมทริกซ์การแปลงของเอลิเมนต์ T\mathbf{T} ใช้แปลงเมทริกซ์ความแข็งในพิกัดท้องถิ่นไปเป็นระบบพิกัดรวม

T=(cos⁡(α)sin⁡(α)0000−sin⁡(α)cos⁡(α)0000001000000cos⁡(α)sin⁡(α)0000−sin⁡(α)cos⁡(α)0000001)\mathbf{T} = \begin{pmatrix} \cos(\alpha) & \sin(\alpha) & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -\sin(\alpha) & \cos(\alpha) & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cos(\alpha) & \sin(\alpha) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -\sin(\alpha) & \cos(\alpha) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

เมทริกซ์ความแข็งในพิกัดรวม ​

เมทริกซ์ความแข็งในพิกัดรวม Kg\mathbf{K_g} ได้จากการคูณเมทริกซ์การแปลงของเอลิเมนต์ T\mathbf{T} กับเมทริกซ์ความแข็งในพิกัดท้องถิ่น Kl\mathbf{K_l}:

Kg=TT⋅Kl⋅T\mathbf{K_g} = \mathbf{T}^\mathsf{T} \cdot \mathbf{K_l} \cdot \mathbf{T}