บทเรียน: โครงข้อแข็งสามจุดหมุน

โครงข้อแข็งสามจุดหมุนเป็นโครงสร้างดีเทอร์มิเนท: สมการสมดุลสามสมการรวมกับเงื่อนไข $M = 0$ ที่จุดหมุนให้แรงปฏิกิริยาที่จุดรองรับครบทั้งสี่ค่า จึงเป็นโมเดลที่เหมาะมากสำหรับตรวจสอบทุกตัวเลขที่ EduBeam วาด ใช้เวลาประมาณ 15 นาที

โครงข้อแข็งที่เสร็จแล้ว: โมเมนต์ดัดและแรงปฏิกิริยา

ถ้าต้องการแค่สำรวจโมเดล เปิดโมเดลที่เสร็จแล้ว

โจทย์

• เสาสองต้นสูง 4 m ฐานเป็นจุดรองรับแบบหมุดที่ A และ E ห่างกัน 8 m
• คานแนวนอน B–D อยู่ด้านบน มีจุดหมุนที่กึ่งกลางช่วง C
• แรงแผ่กระจายสม่ำเสมอ $q = 10$ kN/m ตลอดทั้งคาน
• เหล็ก ($E = 210$ GPa, $G = 81$ GPa) IPE 300 ($A = 53.8$ cm², $I_y = 8356$ cm⁴, $h = 300$ mm)

โหนด	X [m]	Z [m]	จุดรองรับ
A	0	0	หมุด
B	0	−4
C	4	−4	(จุดหมุนในคาน)
D	8	−4
E	8	0	หมุด

อย่าลืมว่า แกน z ชี้ลง ยอดเสาจึงอยู่ที่ Z = −4

1. วัสดุและหน้าตัด

1. ล้างโมเดล (ติ๊ก ลบวัสดุ และ ลบหน้าตัด)
2. วัสดุ → ไลบรารีวัสดุ → Steel (S235)
3. หน้าตัด → เพิ่มหน้าตัด: พื้นที่ = 0.00538, Iy = 8.356e-5, ความสูง = 0.3, สัมประสิทธิ์เฉือน = 1

หน้าตัดมีผลต่อการกระจัดเท่านั้น โครงข้อแข็งนี้เป็นดีเทอร์มิเนท แรงภายในจึงไม่ขึ้นกับ $E$, $A$ หรือ $I$ เลย

2. วาดโครงข้อแข็ง

วิธีที่เร็วที่สุดคือวาดเป็นเส้นต่อเนื่องเส้นเดียวด้วยเมาส์:

1. ตรวจสอบว่าเปิด สแนปกับกริด อยู่ (ปุ่ม S)
2. แท็บ เอลิเมนต์ → ปุ่ม เพิ่มเอลิเมนต์ ปุ่มที่สอง (ไอคอนเคอร์เซอร์)
3. คลิกที่ (0, 0) แล้ว (0, −4), (4, −4), (8, −4) และ (8, 0) ใช้ไม้บรรทัดและเส้นเล็งช่วยหาตำแหน่ง การคลิกแต่ละครั้งจะเพิ่มโหนดและเชื่อมกับโหนดก่อนหน้า
4. กด Esc เพื่อจบ แล้วกด F เพื่อปรับโครงข้อแข็งให้พอดีกับหน้าจอ

ตอนนี้คุณมีห้าโหนดและสี่เอลิเมนต์ รูปในหน้านี้ตั้งชื่อโหนดเป็น A–E คุณเปลี่ยนชื่อโหนดของคุณในตาราง โหนด ได้ หรือจะใช้ 1–5 ต่อไปก็ได้ ตรวจสอบพิกัดในตารางและแก้ค่าที่ไม่ลงกริด

3. จุดรองรับและจุดหมุน

1. คลิกโหนด A เปิด จุดรองรับของโหนด แล้วเลือก หมุด ทำเช่นเดียวกันกับโหนด E
2. ในตาราง เอลิเมนต์ หาเอลิเมนต์จาก B ถึง C แล้วติ๊กจุดหมุนที่ ปลาย (ช่องที่สองใน จุดหมุนที่ปลาย)

ตารางเอลิเมนต์: จุดหมุนอยู่ที่ปลายของเอลิเมนต์ 2 ที่โหนด C

จุดหมุนเดียว ไม่ใช่สอง

ใส่จุดหมุนที่ปลายของเอลิเมนต์ B–C ก็พอ: โมเมนต์ที่ C จะเป็นศูนย์ เพราะ C–D ไม่สามารถส่งโมเมนต์เข้าโหนดที่มีเพียง C–D ยึดไว้แบบแข็งเกร็งได้ ถ้าติ๊กที่จุดเริ่มต้นของ C–D ด้วยก็ไม่มีอะไรเปลี่ยน แต่ถ้าติ๊กจุดหมุนที่ B ด้วย โครงข้อแข็งจะกลายเป็นกลไก ลองดู: EduBeam จะแสดงว่ามันเคลื่อนที่อย่างไร

4. แรงกระทำ

แรงกระทำ → เพิ่มแรงกระทำบนเอลิเมนต์ → แรงแผ่กระจายสม่ำเสมอ เอลิเมนต์ B–C, fz = 10 kN/m ทำซ้ำกับเอลิเมนต์ C–D คานอยู่ในแนวนอน ช่อง LCS จึงไม่มีผลในกรณีนี้

5. ผลลัพธ์

ตัวเลือกการแสดงผลเริ่มต้นด้วยการเปิดรูปร่างที่เสียรูป โมเมนต์ดัด และแรงปฏิกิริยา ติ๊ก N (x) และ V_z (x) เพื่อดูส่วนที่เหลือ

โมเมนต์ดัดและแรงปฏิกิริยา

แรงตามแนวแกน

แรงเฉือน

รูปร่างที่เสียรูป

6. ตรวจสอบด้วยการคำนวณมือ

แรงปฏิกิริยาแนวดิ่ง จากความสมมาตร ฐานแต่ละข้างรับแรงครึ่งหนึ่ง:

$$V_A = V_E = \frac{q \cdot 8}{2} = 40\ \text{kN}$$

แรงปฏิกิริยาแนวนอน หาโมเมนต์รอบจุดหมุน C ของโครงข้อแข็งครึ่งซ้าย โมเมนต์ที่จุดนั้นต้องเป็นศูนย์:

$$V_A \cdot 4 - H_A \cdot 4 - q \cdot 4 \cdot 2 = 0 \quad\Rightarrow\quad H_A = \frac{160 - 80}{4} = 20\ \text{kN}$$

ฐานทั้งสองข้างดันเข้าด้านในด้วยแรง 20 kN แรงดันแนวนอน (thrust) นี้เองที่ทำให้โครงข้อแข็งสามจุดหมุนมีประสิทธิภาพ

แรงภายใน

ปริมาณ	สูตร	ค่าจากการคำนวณมือ	EduBeam
แรงปฏิกิริยาแนวดิ่ง	$qL/2$	40 kN	40 kN
แรงปฏิกิริยาแนวนอน	จาก $M_C = 0$	20 kN	20 kN
โมเมนต์ที่มุม B และ D	$H \cdot h$	80 kNm ดึงด้านนอก	−80 kNm
โมเมนต์ที่จุดหมุน C		0	0
แรงตามแนวแกนในเสา	$-V_A$	−40 kN	−40 kN
แรงตามแนวแกนในคาน	$-H_A$	−20 kN	−20 kN
แรงเฉือนในเสา	$H_A$	20 kN	−20 kN (A–B), +20 kN (D–E)
แรงเฉือนในคานที่ B	$V_A$	40 kN	40 kN
แรงเฉือนในคานที่ C	$V_A - 4q$	0	0
แรงเฉือนในคานที่ D	$V_A - 8q$	−40 kN	−40 kN

เสาทั้งสองต้นมีเครื่องหมายแรงเฉือนตรงข้ามกัน แม้จะรับแรงเท่ากัน เพราะแกนท้องถิ่นของแต่ละเอลิเมนต์เป็นไปตามทิศของเอลิเมนต์นั้น: A–B วาดขึ้น ส่วน D–E วาดลง ถ้าสลับโหนดของเสาต้นหนึ่ง เครื่องหมายจะกลับ

ในคาน $M(x) = -80 + 40x - 5x^2$ kNm (x วัดจาก B) ซึ่งเป็นศูนย์ที่จุดหมุนและไม่เป็นบวกเลย: ทั้งคานรับโมเมนต์ลบ แรงเฉือน $V(x) = 40 - 10x$ ลดลงเป็นศูนย์พอดีที่ C ค่าสุดขีดของโมเมนต์จึงอยู่ที่จุดหมุนด้วย

การกระจัด จุดหมุน C ทรุดลง 43.1 mm (ผลลัพธ์ → ผลลัพธ์ที่โหนด ค่า Dz ของ C) ค่านี้มาจากการดัดของชิ้นส่วนทั้งสี่ และเป็นแบบฝึกหัดที่ดีสำหรับหลักงานเสมือน (principle of virtual work)

7. ทดลอง

• ยกเลิกการติ๊กจุดหมุน ที่ C โครงข้อแข็งจะเป็นอินดีเทอร์มิเนทหนึ่งขั้น โมเมนต์ที่มุมลดลงและเกิดโมเมนต์บวกที่กึ่งกลางช่วง คราวนี้หน้าตัดมีผลแล้ว ลองใช้คานที่แข็งกว่า
• ยึดฐานแน่น (เลือกจุดรองรับแบบ ยึดแน่น) จะเกิดโมเมนต์ที่ A และ E
• เพิ่มแรงแนวนอน: แรงกระทำที่โหนด Fx = 10 kN ที่ B โครงข้อแข็งจะเซ และแรงปฏิกิริยาไม่สมมาตรอีกต่อไป ตรวจสอบด้วยสมการสามสมการเดิมและ $M_C = 0$
• ติ๊กจุดหมุนที่ B ด้วย โครงข้อแข็งตอนนี้เป็นกลไก และ EduBeam จะแสดงภาพเคลื่อนไหวว่ามันเคลื่อนที่ได้อย่างไร