Учебный пример: плоская ферма

В этом примере мы построим небольшую статически определимую ферму, проверим усилия в стержнях методом вырезания узлов и методом сечений и найдём нулевой стержень. Заложите около 15 минут.

Готовая ферма: продольные силы и реакции

Откройте готовую модель, если хотите просто её исследовать.

Задача

Геометрия, опоры и нагрузки

• Пролёт 12 м из трёх панелей по 4 м, высота 3 м.
• Узлы нижнего пояса 1–4, узлы верхнего пояса 5 и 6.
• Шарнирно-неподвижная опора в узле 1 и шарнирно-подвижная в узле 4.
• Две нагрузки по 30 кН в узлах нижнего пояса 2 и 3.
• Стальные стержни с $A = 20$ см².

Узел	X [м]	Z [м]	Опора	Нагрузка
1	0	0	шарнир
2	4	0		Fz = 30 кН
3	8	0		Fz = 30 кН
4	12	0	подвижный шарнир
5	4	−3
6	8	−3

Стержни: нижний пояс 1–2, 2–3, 3–4; верхний пояс 5–6; опорные раскосы 1–5 и 6–4; стойки 2–5 и 3–6; средний раскос 5–3.

Статически ли она определима? $m + r = 9 + 3 = 12 = 2j$ при $j = 6$ узлах, значит, да: усилия в стержнях находятся из одних только уравнений равновесия.

1. Материал и сечение

1. Очистить модель (отметьте Удалить материалы и Удалить сечения).
2. Материалы → Библиотека материалов → Steel (S235).
3. Сечения → Добавить сечение: Площадь = 0.002, Iy = 1e-6, Высота = 0.1, Коэффициент сдвига = 1. У шарнирных стержней имеет значение только площадь.

2. Нарисуйте стержни с шарнирами

Стержень фермы в EduBeam — это балочный элемент с отмеченными обоими концевыми шарнирами. Инструмент для мыши может ставить их за вас:

1. Вкладка Элементы → вторая кнопка Добавить элемент (значок курсора).
2. В плашке вверху окна просмотра отметьте Шарнир в начале и Шарнир в конце. Теперь каждый нарисованный стержень получает оба шарнира.
3. Нарисуйте контур одной ломаной: щёлкните (0, 0), (4, −3), (8, −3), (12, 0), а затем обратно по низу: (8, 0), (4, 0), (0, 0). Нажмите Esc.
4. Нарисуйте внутренние стержни по одному, нажимая Esc после каждого: (4, 0) → (4, −3), (4, −3) → (8, 0), (8, 0) → (8, −3).
5. Нажмите F, чтобы вписать ферму в экран.

Проверьте таблицу Элементы: девять элементов, у каждого отмечены оба Концевые шарниры. Номера ваших узлов и элементов могут отличаться от рисунков; это не важно.

3. Опоры и нагрузки

1. Щёлкните узел в точке (0, 0) → Опоры узла → Шарнир. Щёлкните узел в точке (12, 0) → Подвижный шарнир.
2. Щёлкните узел в точке (4, 0) → Добавить нагрузку → Fz = 30 кН. То же сделайте в точке (8, 0).

Положительное Fz направлено вниз. Узлы фермы могут свободно поворачиваться; EduBeam допускает узлы, в которых все стержни шарнирные, и выдаёт их поворот равным 0.

4. Результаты

В параметрах отображения снимите флажки Деформированная форма и M_y (x) (в ферме изгиба нет) и отметьте N (x).

Продольные силы: растяжение положительно

5. Проверьте вручную

Реакции. Нагрузки симметричны, поэтому $R_1 = R_4 = 30$ кН вверх, а горизонтальная реакция шарнирно-неподвижной опоры равна нулю.

Узел 1 (метод вырезания узлов). Опорный раскос 1–5 имеет длину 5 м ($\sin\alpha = 3/5$, $\cos\alpha = 4/5$):

\sum F_z:\ N_{15} \cdot \tfrac{3}{5} = -30 \Rightarrow N_{15} = -50\ \text{кН} \qquad \sum F_x:\ N_{12} = -N_{15} \cdot \tfrac{4}{5} = 40\ \text{кН}

Узел 2. Стойка 2–5 — единственный стержень, который может передать нагрузку 30 кН вверх: $N_{25} = +30$ кН, а $N_{23} = N_{12} = 40$ кН.

Сечение через среднюю панель. Разрежьте стержни 5–6, 5–3 и 2–3 и оставьте левую часть:

• Моменты относительно узла 3: $R_1 \cdot 8 - 30 \cdot 4 + N_{56} \cdot 3 = 0 \Rightarrow N_{56} = -40$ кН.
• Вертикальные силы: поперечная сила в панели равна $R_1 - 30 = 0$, поэтому раскос 5–3 не нагружен: $N_{53} = 0$.

Стержень	Ручной расчёт	EduBeam
Нижний пояс 1–2, 2–3, 3–4	+40 кН (растяжение)	40
Верхний пояс 5–6	−40 кН (сжатие)	−40
Опорные раскосы 1–5, 6–4	−50 кН	−50
Стойки 2–5, 3–6	+30 кН	30
Средний раскос 5–3	0	0

Прогиб узла 2 равен 2,29 мм (Результаты → Узловые результаты). В качестве упражнения вычислите его методом возможных перемещений: $\delta = \sum N n L / (EA)$.

6. Экспериментируйте

• Переместите одну нагрузку. Приложите обе нагрузки по 30 кН в узле 2. Теперь средний раскос нагружен: какого знака усилие и почему?
• Удалите средний раскос. Ферма становится механизмом; EduBeam обводит виновные шарниры и показывает, как перекашивается панель.
• Снимите все шарниры. Ферма превращается в раму с жёсткими узлами. Отметьте M_y (x): изгибающие моменты ничтожны по сравнению с продольными силами, поэтому идеализация с шарнирными узлами и работает.
• Сделайте обе опоры шарнирно-неподвижными. Одна лишняя реакция делает ферму статически неопределимой, и усилия в нижнем поясе теперь зависят от площадей стержней.