Учебный пример: трёхшарнирная рама

Трёхшарнирная рама статически определима: три уравнения равновесия плюс условие $M = 0$ в шарнире дают все четыре опорные реакции. Поэтому это идеальная модель, чтобы проверить каждое число, которое рисует EduBeam. Заложите около 15 минут.

Готовая рама: изгибающий момент и реакции

Откройте готовую модель, если хотите просто её исследовать.

Задача

• Две стойки высотой 4 м с шарнирными опорами в основаниях A и E на расстоянии 8 м друг от друга.
• Горизонтальный ригель B–D сверху с шарниром посередине пролёта, в точке C.
• Равномерно распределённая нагрузка $q = 10$ кН/м по всему ригелю.
• Сталь ($E = 210$ ГПа, $G = 81$ ГПа), IPE 300 ($A = 53{,}8$ см², $I_y = 8356$ см⁴, $h = 300$ мм).

Узел	X [м]	Z [м]	Опора
A	0	0	шарнир
B	0	−4
C	4	−4	(шарнир в ригеле)
D	8	−4
E	8	0	шарнир

Помните, что ось z направлена вниз, поэтому верх стоек находится на Z = −4.

1. Материал и сечение

1. Очистить модель (отметьте Удалить материалы и Удалить сечения).
2. Материалы → Библиотека материалов → Steel (S235).
3. Сечения → Добавить сечение: Площадь = 0.00538, Iy = 8.356e-5, Высота = 0.3, Коэффициент сдвига = 1.

Сечение влияет только на перемещения. Эта рама статически определима, поэтому её внутренние усилия вообще не зависят от $E$, $A$ или $I$.

2. Нарисуйте раму

Быстрее всего нарисовать её мышью одной ломаной:

1. Убедитесь, что Привязка к сетке включена (плашка S).
2. Вкладка Элементы → вторая кнопка Добавить элемент (значок курсора).
3. Щёлкните в точке (0, 0), затем (0, −4), (4, −4), (8, −4) и (8, 0). Чтобы найти точки, следите за линейками и перекрестием. Каждый щелчок добавляет узел и соединяет его с предыдущим.
4. Нажмите Esc, чтобы закончить, а затем F, чтобы вписать раму в экран.

Теперь у вас пять узлов и четыре элемента. На рисунках здесь узлы обозначены A–E; при желании переименуйте свои в таблице Узлы или оставьте 1–5. Проверьте координаты в таблице и исправьте те, что не попали на сетку.

3. Опоры и шарнир

1. Щёлкните узел A, откройте Опоры узла и выберите Шарнир. То же сделайте для узла E.
2. В таблице Элементы найдите элемент от B до C и отметьте шарнир на его конце (второй флажок в столбце Концевые шарниры).

Таблица элементов: шарнир находится в конце элемента 2, в узле C

Один шарнир, а не два

Достаточно поставить шарнир в конце элемента B–C: момент в C тогда равен нулю, потому что C–D не может передать момент в узел, который жёстко держит только он один. Отметьте ещё и начало C–D — ничего не изменится. Но поставьте шарнир ещё и в B, и рама превратится в механизм. Попробуйте: EduBeam покажет, как она движется.

4. Нагрузка

Нагрузки → Добавить нагрузку на элемент → Равномерно распределённая нагрузка, элемент B–C, fz = 10 кН/м. Повторите для элемента C–D. Ригель горизонтален, поэтому флажок локальной системы координат здесь ни на что не влияет.

5. Результаты

В параметрах отображения изначально включены деформированная форма, изгибающий момент и реакции. Отметьте N (x) и V_z (x), чтобы увидеть остальное.

Изгибающий момент и реакции

Продольная сила

Поперечная сила

Деформированная форма

6. Проверьте вручную

Вертикальные реакции. По симметрии каждое основание воспринимает половину нагрузки:

V_A = V_E = \frac{q \cdot 8}{2} = 40\ \text{кН}

Горизонтальные реакции. Составьте уравнение моментов относительно шарнира C для левой половины рамы. Момент там должен быть равен нулю:

V_A \cdot 4 - H_A \cdot 4 - q \cdot 4 \cdot 2 = 0 \quad\Rightarrow\quad H_A = \frac{160 - 80}{4} = 20\ \text{кН}

Оба основания толкают раму внутрь с силой 20 кН; именно этот горизонтальный распор делает трёхшарнирную раму эффективной.

Внутренние усилия.

Величина	Формула	Ручной расчёт	EduBeam
Вертикальные реакции	$qL/2$	40 кН	40 кН
Горизонтальные реакции	из $M_C = 0$	20 кН	20 кН
Момент в углах B и D	$H \cdot h$	80 кНм, растянуты наружные волокна	−80 кНм
Момент в шарнире C		0	0
Продольная сила в стойках	$-V_A$	−40 кН	−40 кН
Продольная сила в ригеле	$-H_A$	−20 кН	−20 кН
Поперечная сила в стойках	$H_A$	20 кН	−20 кН (A–B), +20 кН (D–E)
Поперечная сила в ригеле у B	$V_A$	40 кН	40 кН
Поперечная сила в ригеле у C	$V_A - 4q$	0	0
Поперечная сила в ригеле у D	$V_A - 8q$	−40 кН	−40 кН

У двух стоек противоположные знаки поперечной силы, хотя они несут одинаковое усилие, потому что локальные оси каждого элемента следуют его направлению: A–B нарисован снизу вверх, а D–E сверху вниз. Поменяйте местами узлы одной стойки, и её знак изменится.

В ригеле $M(x) = -80 + 40x - 5x^2$ кНм (x отсчитывается от B); момент равен нулю в шарнире и нигде не бывает положительным: весь ригель работает с растянутыми верхними волокнами. Поперечная сила $V(x) = 40 - 10x$ обращается в ноль ровно в C, так что экстремум момента тоже находится в шарнире.

Перемещение. Шарнир C опускается на 43,1 мм (Результаты → Узловые результаты, Dz узла C). Это перемещение складывается из изгиба всех четырёх стержней и служит хорошим упражнением на принцип возможных перемещений.

7. Экспериментируйте

• Снимите флажок шарнира в C. Рама становится один раз статически неопределимой; моменты в углах уменьшаются, а в середине пролёта появляется положительный момент. Теперь сечение имеет значение: попробуйте более жёсткий ригель.
• Закрепите основания жёстко (выберите опору Заделка). В A и E появятся моменты.
• Добавьте горизонтальную нагрузку: узловую силу Fx = 10 кН в B. Рама смещается вбок, и реакции больше не симметричны. Проверьте их теми же тремя уравнениями и условием $M_C = 0$.
• Отметьте ещё и шарнир в B. Теперь рама — механизм, и EduBeam анимирует, как она может двигаться.