Tutorial: treliça plana

Este tutorial monta uma pequena treliça isostática, confere os esforços nas barras com o método dos nós e o método das seções e encontra uma barra de esforço nulo. Reserve cerca de 15 minutos.

A treliça pronta: esforços normais e reações

Abra o modelo pronto se quiser apenas explorá-lo.

O problema

Geometria, apoios e cargas

• Um vão de 12 m em três painéis de 4 m, com 3 m de altura.
• Nós do banzo inferior 1–4, nós do banzo superior 5 e 6.
• Um apoio fixo no nó 1 e um apoio móvel no nó 4.
• Duas cargas de 30 kN, nos nós 2 e 3 do banzo inferior.
• Barras de aço com $A = 20$ cm².

Nó	X [m]	Z [m]	Apoio	Carga
1	0	0	apoio fixo
2	4	0		Fz = 30 kN
3	8	0		Fz = 30 kN
4	12	0	apoio móvel
5	4	−3
6	8	−3

Barras: banzo inferior 1–2, 2–3, 3–4; banzo superior 5–6; diagonais de extremidade 1–5 e 6–4; montantes 2–5 e 3–6; e a diagonal central 5–3.

É isostática? $m + r = 9 + 3 = 12 = 2j$ com $j = 6$ nós, então sim: os esforços nas barras resultam apenas do equilíbrio.

1. Material e seção

1. Limpar estrutura (marque Excluir materiais e Excluir seções).
2. Materiais → Biblioteca de materiais → Steel (S235).
3. Seções → Adicionar seção: Área = 0,002, Iy = 1e-6, Altura = 0,1, Coeficiente de cisalhamento = 1. Com barras rotuladas, só a área importa.

2. Desenhe as barras com rótulas

Uma barra de treliça no EduBeam é um elemento de viga com as duas rótulas de extremidade marcadas. A ferramenta de mouse pode defini-las para você:

1. Aba Elementos → o segundo botão Adicionar elemento (ícone de cursor).
2. Na faixa no topo da visualização, marque Rótula no início e Rótula no fim. Toda barra que você desenhar agora recebe as duas.
3. Desenhe o contorno como uma única poligonal: clique em (0, 0), (4, −3), (8, −3), (12, 0) e depois volte pela parte de baixo: (8, 0), (4, 0), (0, 0). Pressione Esc.
4. Desenhe as barras internas uma de cada vez, pressionando Esc depois de cada uma: (4, 0) → (4, −3), (4, −3) → (8, 0), (8, 0) → (8, −3).
5. Pressione F para ajustar à tela.

Confira a tabela Elementos: nove elementos, cada um com as duas Rótulas de extremidade marcadas. A numeração dos seus nós e elementos pode ser diferente da das imagens; isso não importa.

3. Apoios e cargas

1. Clique no nó em (0, 0) → Apoios do nó → apoio fixo. Clique no nó em (12, 0) → apoio móvel.
2. Clique no nó em (4, 0) → Adicionar carga → Fz = 30 kN. Faça o mesmo em (8, 0).

Um Fz positivo aponta para baixo. Os nós de uma treliça são livres para girar; o EduBeam aceita nós em que todas as barras são rotuladas e informa a rotação deles como 0.

4. Resultados

Nas opções de exibição, desmarque Forma deformada e M_y (x) (não há flexão em uma treliça) e marque N (x).

Esforços normais: tração positiva

5. Confira à mão

Reações. As cargas são simétricas, então $R_1 = R_4 = 30$ kN para cima, e a reação horizontal no apoio fixo é nula.

Nó 1 (método dos nós). A diagonal de extremidade 1–5 tem 5 m de comprimento ($\sin\alpha = 3/5$, $\cos\alpha = 4/5$):

$\sum F_z:\ N_{15} \cdot \tfrac{3}{5} = -30 \Rightarrow N_{15} = -50\ \text{kN} \qquad \sum F_x:\ N_{12} = -N_{15} \cdot \tfrac{4}{5} = 40\ \text{kN}$

Nó 2. O montante 2–5 é a única barra que pode levar a carga de 30 kN para cima: $N_{25} = +30$ kN, e $N_{23} = N_{12} = 40$ kN.

Seção pelo painel central. Corte as barras 5–6, 5–3 e 2–3 e fique com a parte esquerda:

• Momentos em relação ao nó 3: $R_1 \cdot 8 - 30 \cdot 4 + N_{56} \cdot 3 = 0 \Rightarrow N_{56} = -40$ kN.
• Forças verticais: o cortante no painel é $R_1 - 30 = 0$, então a diagonal 5–3 não suporta nada: $N_{53} = 0$.

Barra	À mão	EduBeam
Banzo inferior 1–2, 2–3, 3–4	+40 kN (tração)	40
Banzo superior 5–6	−40 kN (compressão)	−40
Diagonais de extremidade 1–5, 6–4	−50 kN	−50
Montantes 2–5, 3–6	+30 kN	30
Diagonal central 5–3	0	0

O deslocamento do nó 2 é 2,29 mm (Resultados → Resultados nodais). Calcule-o como exercício com o princípio dos trabalhos virtuais, $\delta = \sum N n L / (EA)$.

6. Experimente

• Mova uma carga. Coloque as duas cargas de 30 kN no nó 2. A diagonal central agora tem esforço: com que sinal, e por quê?
• Remova a diagonal central. A treliça vira um mecanismo; o EduBeam circula as rótulas responsáveis e mostra como o painel se deforma por cisalhamento.
• Desmarque todas as rótulas. A treliça vira um pórtico com nós rígidos. Marque M_y (x): os momentos fletores são minúsculos em comparação com os esforços normais, e é por isso que a idealização com nós articulados funciona.
• Coloque apoio fixo nos dois apoios. Uma reação a mais a torna hiperestática, e os esforços no banzo inferior passam a depender das áreas das barras.