Samouczek: kratownica płaska

W tym samouczku zbudujesz małą statycznie wyznaczalną kratownicę, sprawdzisz siły w prętach metodą równoważenia węzłów i metodą Rittera oraz znajdziesz pręt zerowy. Zarezerwuj około 15 minut.

Gotowa kratownica: siły normalne i reakcje

Otwórz gotowy model, jeśli chcesz go tylko obejrzeć.

Zadanie

Geometria, podpory i obciążenia

• Rozpiętość 12 m podzielona na trzy przedziały po 4 m, wysokość 3 m.
• Węzły pasa dolnego 1–4, węzły pasa górnego 5 i 6.
• Podpora przegubowa nieprzesuwna w węźle 1 i przesuwna w węźle 4.
• Dwie siły po 30 kN w węzłach pasa dolnego 2 i 3.
• Pręty stalowe o polu $A = 20$ cm².

Węzeł	X [m]	Z [m]	Podpora	Obciążenie
1	0	0	przegubowa nieprzesuwna
2	4	0		Fz = 30 kN
3	8	0		Fz = 30 kN
4	12	0	przegubowa przesuwna
5	4	−3
6	8	−3

Pręty: pas dolny 1–2, 2–3, 3–4; pas górny 5–6; krzyżulce skrajne 1–5 i 6–4; słupki 2–5 i 3–6; oraz krzyżulec środkowy 5–3.

Czy jest statycznie wyznaczalna? $m + r = 9 + 3 = 12 = 2j$ przy $j = 6$ węzłach, więc tak: siły w prętach wynikają z samych warunków równowagi.

1. Materiał i przekrój

1. Wyczyść model (zaznacz Usuń materiały i Usuń przekroje).
2. Materiały → Biblioteka materiałów → Steel (S235).
3. Przekroje → Dodaj przekrój: Pole = 0,002, Iy = 1e-6, Wysokość = 0,1, Współczynnik ścinania = 1. Przy prętach z przegubami liczy się tylko pole.

2. Narysuj pręty z przegubami

Pręt kratownicy w EduBeam to element belkowy z zaznaczonymi oboma przegubami końcowymi. Narzędzie myszy może je ustawić za Ciebie:

1. Zakładka Elementy → drugi przycisk Dodaj element (ikona kursora).
2. Na pasku u góry widoku zaznacz Przegub na początku i Przegub na końcu. Każdy pręt, który teraz narysujesz, dostanie oba.
3. Narysuj obrys jako jedną linię łamaną: kliknij (0, 0), (4, −3), (8, −3), (12, 0), a potem z powrotem wzdłuż dołu: (8, 0), (4, 0), (0, 0). Naciśnij Esc.
4. Narysuj pręty wewnętrzne po jednym, naciskając Esc po każdym: (4, 0) → (4, −3), (4, −3) → (8, 0), (8, 0) → (8, −3).
5. Naciśnij F, aby dopasować widok.

Sprawdź tabelę Elementy: dziewięć elementów, każdy z zaznaczonymi oboma Przegubami końcowymi. Numery Twoich węzłów i elementów mogą się różnić od tych na rysunkach; nie ma to znaczenia.

3. Podpory i obciążenia

1. Kliknij węzeł w (0, 0) → Podpory węzła → Przegub. Kliknij węzeł w (12, 0) → Przegub przesuwny.
2. Kliknij węzeł w (4, 0) → Dodaj obciążenie → Fz = 30 kN. To samo zrób w (8, 0).

Dodatnie Fz działa w dół. Węzły kratownicy mogą się swobodnie obracać; EduBeam akceptuje węzły, w których wszystkie pręty mają przeguby, i podaje ich obrót jako 0.

4. Wyniki

W opcjach wyświetlania odznacz Kształt odkształcony i M_y (x) (w kratownicy nie ma zginania) i zaznacz N (x).

Siły normalne: rozciąganie dodatnie

5. Sprawdź ręcznie

Reakcje. Obciążenia są symetryczne, więc $R_1 = R_4 = 30$ kN w górę, a reakcja pozioma w podporze nieprzesuwnej jest zerowa.

Węzeł 1 (metoda równoważenia węzłów). Krzyżulec skrajny 1–5 ma długość 5 m ($\sin\alpha = 3/5$, $\cos\alpha = 4/5$):

$\sum F_z:\ N_{15} \cdot \tfrac{3}{5} = -30 \Rightarrow N_{15} = -50\ \text{kN} \qquad \sum F_x:\ N_{12} = -N_{15} \cdot \tfrac{4}{5} = 40\ \text{kN}$

Węzeł 2. Słupek 2–5 jest jedynym prętem, który może przenieść siłę 30 kN do góry: $N_{25} = +30$ kN oraz $N_{23} = N_{12} = 40$ kN.

Przekrój przez środkowy przedział. Przetnij pręty 5–6, 5–3 i 2–3 i rozważ lewą część:

• Suma momentów względem węzła 3: $R_1 \cdot 8 - 30 \cdot 4 + N_{56} \cdot 3 = 0 \Rightarrow N_{56} = -40$ kN.
• Siły pionowe: siła tnąca w przedziale wynosi $R_1 - 30 = 0$, więc krzyżulec 5–3 nie przenosi niczego: $N_{53} = 0$.

Pręt	Wartość ręczna	EduBeam
Pas dolny 1–2, 2–3, 3–4	+40 kN (rozciąganie)	40
Pas górny 5–6	−40 kN (ściskanie)	−40
Krzyżulce skrajne 1–5, 6–4	−50 kN	−50
Słupki 2–5, 3–6	+30 kN	30
Krzyżulec środkowy 5–3	0	0

Ugięcie węzła 2 wynosi 2,29 mm (Wyniki → Wyniki węzłowe). Jako ćwiczenie oblicz je metodą prac wirtualnych, $\delta = \sum N n L / (EA)$.

6. Eksperymentuj

• Przesuń jedno obciążenie. Przyłóż obie siły 30 kN w węźle 2. Krzyżulec środkowy przenosi teraz siłę: jakiego znaku i dlaczego?
• Usuń krzyżulec środkowy. Kratownica staje się mechanizmem; EduBeam zakreśla winne przeguby i pokazuje, jak przedział się ścina.
• Odznacz wszystkie przeguby. Kratownica staje się ramą o sztywnych węzłach. Zaznacz M_y (x): momenty zginające są znikome w porównaniu z siłami osiowymi, i dlatego idealizacja węzłów przegubowych się sprawdza.
• Zamień obie podpory na nieprzesuwne. Jedna reakcja więcej czyni układ statycznie niewyznaczalnym, a siły w pasie dolnym zależą teraz od pól przekrojów prętów.