Samouczek: rama trójprzegubowa

Rama trójprzegubowa jest statycznie wyznaczalna: trzy równania równowagi oraz warunek $M = 0$ w przegubie dają wszystkie cztery reakcje podporowe. Dzięki temu to idealny model do sprawdzenia każdej liczby, którą rysuje EduBeam. Zarezerwuj około 15 minut.

Gotowa rama: moment zginający i reakcje

Otwórz gotowy model, jeśli chcesz go tylko obejrzeć.

Zadanie

• Dwa słupy o wysokości 4 m, podparte przegubowo u podstaw A i E, w rozstawie 8 m.
• Poziomy rygiel B–D na górze, z przegubem w środku rozpiętości C.
• Obciążenie równomierne $q = 10$ kN/m na całym ryglu.
• Stal ($E = 210$ GPa, $G = 81$ GPa), IPE 300 ($A = 53{,}8$ cm², $I_y = 8356$ cm⁴, $h = 300$ mm).

Węzeł	X [m]	Z [m]	Podpora
A	0	0	przegubowa nieprzesuwna
B	0	−4
C	4	−4	(przegub w ryglu)
D	8	−4
E	8	0	przegubowa nieprzesuwna

Pamiętaj, że oś z jest skierowana w dół, więc wierzchołki słupów leżą w Z = −4.

1. Materiał i przekrój

1. Wyczyść model (zaznacz Usuń materiały i Usuń przekroje).
2. Materiały → Biblioteka materiałów → Steel (S235).
3. Przekroje → Dodaj przekrój: Pole = 0,00538, Iy = 8,356e-5, Wysokość = 0,3, Współczynnik ścinania = 1.

Przekrój wpływa tylko na przemieszczenia. Ta rama jest statycznie wyznaczalna, więc jej siły przekrojowe w ogóle nie zależą od $E$, $A$ ani $I$.

2. Narysuj ramę

Najszybciej narysujesz ją myszą jako jedną linię łamaną:

1. Upewnij się, że Przyciągaj do siatki jest włączone (przełącznik S).
2. Zakładka Elementy → drugi przycisk Dodaj element (ikona kursora).
3. Kliknij w (0, 0), potem w (0, −4), (4, −4), (8, −4) i (8, 0). Punkty znajdziesz, obserwując linijki i celownik. Każde kliknięcie dodaje węzeł i łączy go z poprzednim.
4. Naciśnij Esc, aby zakończyć, a potem F, aby dopasować ramę do ekranu.

Masz teraz pięć węzłów i cztery elementy. Na rysunkach węzły są oznaczone A–E; jeśli chcesz, zmień etykiety swoich węzłów w tabeli Węzły albo zostaw 1–5. Sprawdź współrzędne w tabeli i popraw te, które nie trafiły w siatkę.

3. Podpory i przegub

1. Kliknij węzeł A, otwórz Podpory węzła i wybierz Przegub. To samo zrób dla węzła E.
2. W tabeli Elementy znajdź element od B do C i zaznacz jego przegub na końcu (drugie pole w kolumnie Przeguby końcowe).

Tabela Elementy: przegub jest na końcu elementu 2, w węźle C

Jeden przegub, nie dwa

Przegub na końcu elementu B–C wystarczy: moment w C jest wtedy zerowy, ponieważ C–D nie może przekazać momentu do węzła, z którym tylko on jest połączony sztywno. Zaznacz także początek C–D, a nic się nie zmieni. Ale zaznacz dodatkowo przegub w B, a rama stanie się mechanizmem. Wypróbuj to: EduBeam pokaże, jak się porusza.

4. Obciążenie

Obciążenia → Dodaj obciążenie elementu → Obciążenie równomiernie rozłożone, element B–C, fz = 10 kN/m. Powtórz dla elementu C–D. Rygiel jest poziomy, więc pole LCS nie ma tu znaczenia.

5. Wyniki

Opcje wyświetlania mają na początku włączony kształt odkształcony, moment zginający i reakcje. Zaznacz N (x) i V_z (x), aby zobaczyć resztę.

Moment zginający i reakcje

Siła normalna

Siła tnąca

Kształt odkształcony

6. Sprawdź ręcznie

Reakcje pionowe. Z symetrii każda podstawa przejmuje połowę obciążenia:

$V_A = V_E = \frac{q \cdot 8}{2} = 40\ \text{kN}$

Reakcje poziome. Zapisz sumę momentów względem przegubu C dla lewej połowy ramy. Moment w tym miejscu musi być zerowy:

$V_A \cdot 4 - H_A \cdot 4 - q \cdot 4 \cdot 2 = 0 \quad\Rightarrow\quad H_A = \frac{160 - 80}{4} = 20\ \text{kN}$

Obie podstawy są pchane do środka siłą 20 kN; to właśnie ten poziomy rozpór czyni ramę trójprzegubową efektywną.

Siły przekrojowe.

Wielkość	Wzór	Wartość ręczna	EduBeam
Reakcje pionowe	$qL/2$	40 kN	40 kN
Reakcje poziome	z $M_C = 0$	20 kN	20 kN
Moment w narożach B i D	$H \cdot h$	80 kNm, rozciągane włókna zewnętrzne	−80 kNm
Moment w przegubie C		0	0
Siła normalna w słupach	$-V_A$	−40 kN	−40 kN
Siła normalna w ryglu	$-H_A$	−20 kN	−20 kN
Siła tnąca w słupach	$H_A$	20 kN	−20 kN (A–B), +20 kN (D–E)
Siła tnąca w ryglu w B	$V_A$	40 kN	40 kN
Siła tnąca w ryglu w C	$V_A - 4q$	0	0
Siła tnąca w ryglu w D	$V_A - 8q$	−40 kN	−40 kN

Oba słupy mają przeciwne znaki siły tnącej, choć przenoszą tę samą siłę, ponieważ osie lokalne każdego elementu wynikają z jego kierunku: A–B narysowano w górę, a D–E w dół. Zamień węzły jednego słupa, a jego znak się odwróci.

W ryglu $M(x) = -80 + 40x - 5x^2$ kNm (x mierzone od B); moment jest zerowy w przegubie i nigdzie nie jest dodatni: cały rygiel jest zginany momentem ujemnym. Siła tnąca $V(x) = 40 - 10x$ spada do zera dokładnie w C, więc ekstremum momentu również wypada w przegubie.

Przemieszczenie. Przegub C obniża się o 43,1 mm (Wyniki → Wyniki węzłowe, Dz węzła C). Wynika to ze zginania wszystkich czterech prętów i jest dobrym ćwiczeniem na zasadę prac wirtualnych.

7. Eksperymentuj

• Odznacz przegub w C. Rama staje się jednokrotnie statycznie niewyznaczalna; momenty w narożach maleją, a w środku rozpiętości pojawia się moment dodatni. Teraz przekrój ma znaczenie: wypróbuj sztywniejszy rygiel.
• Utwierdź podstawy (wybierz podporę Utwierdzenie). W A i E pojawiają się momenty.
• Dodaj obciążenie poziome: obciążenie węzłowe Fx = 10 kN w B. Rama się przechyla, a reakcje nie są już symetryczne. Sprawdź je tymi samymi trzema równaniami i warunkiem $M_C = 0$.
• Zaznacz także przegub w B. Rama jest teraz mechanizmem, a EduBeam animuje, jak może się poruszać.