EduBeam

梁单元 ​

EduBeam 中唯一的单元是位于 x–z 平面内的两节点 Timoshenko 梁。与经典的 Euler–Bernoulli 梁相比，它增加了剪切变形，这对高跨比大或较短的杆件很重要，而对细长杆件则几乎消失。符号约定汇总在符号约定页面中。

LEA
二维 Timoshenko 梁示意图

自由度 ​

二维 Timoshenko 梁在每个节点有三个自由度（DOF）：

  • 平动 (Dx)： 沿 X 轴的位移。
  • 平动 (Dz)： 沿 Z 轴的位移。
  • 转动 (Ry)： 绕 Y 轴的转角。

荷载沿自由度方向给出：

  • 水平力 (Fx)： 沿 X 轴施加的力。
  • 竖向力 (Fz)： 沿 Z 轴施加的力。
  • 力矩 (My)： 绕 Y 轴施加的力矩。

局部刚度矩阵 ​

局部坐标系中的梁单元刚度矩阵为：

Kl=(EAL00−EAL00012EIyL3(1+φ)−6EIyL2(1+φ)0−12EIyL3(1+φ)−6EIyL2(1+φ)0−6EIyL2(1+φ)(4+φ)EIyL(1+φ)06EIyL2(1+φ)(2−φ)EIyL(1+φ)−EAL00EAL000−12EIyL3(1+φ)6EIyL2(1+φ)012EIyL3(1+φ)6EIyL2(1+φ)0−6EIyL2(1+φ)(2−φ)EIyL(1+φ)06EIyL2(1+φ)(4+φ)EIyL(1+φ))\mathbf{K_l} = \begin{pmatrix} \dfrac{EA}{L} & 0 & 0 & -\dfrac{EA}{L} & 0 & 0 & \\[2ex] 0 & \dfrac{12 EI_y}{ L^3 (1+\varphi)} & \dfrac{-6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & 0 & \dfrac{-12 EI_y}{L^3 (1+\varphi)} & \dfrac{-6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} &\\[3ex] 0 & \dfrac{-6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & \dfrac{(4 + \varphi) EI_y}{L (1+\varphi)} & 0 & \dfrac{6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & \dfrac{(2 - \varphi) EI_y}{L (1+\varphi)} &\\[2ex] -\dfrac{EA}{L} & 0 & 0 & \dfrac{EA}{L} & 0 & 0 &\\[2ex] 0 & \dfrac{-12 EI_y}{L^3 (1+\varphi)} & \dfrac{6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & 0 & \dfrac{12 EI_y}{ L^3 (1+\varphi)} & \dfrac{6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} &\\[3ex] 0 & \dfrac{-6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & \dfrac{(2 - \varphi) EI_y}{L (1+\varphi)} & 0 & \dfrac{6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & \dfrac{(4 + \varphi) EI_y}{L (1+\varphi)} \end{pmatrix}

其中：

  • EE 为材料的杨氏模量
  • AA 为梁的截面面积
  • LL 为梁的长度
  • IyI_y 为绕 y 轴的截面二次矩
  • φ\varphi 为无量纲的剪切柔度参数

φ=12 EIyk G A L2\varphi = \frac{12\,E I_y}{k\,G\,A\,L^2}

其中 GG 为剪切模量，kk 为截面的剪切系数（有效剪切面积为 kAkA）。当 φ→0\varphi \to 0 时（细长梁，或 kk 非常大），该矩阵退化为 Euler–Bernoulli 梁的刚度矩阵。

端部铰接 ​

单元端部的铰会释放相应的转动自由度：该转角从 6 × 6 矩阵中凝聚掉（静力凝聚，该端 M=0M = 0），单元以其余自由度进行组装。两端都释放时，只剩下轴向项，单元表现为桁架杆。

单元荷载 ​

分布荷载、集中荷载和温度荷载被转换为等效节点荷载 feq\mathbf{f}_{eq}（固端力的相反数），并加入整体荷载向量。求解之后，沿单元的内力由端部位移加上单元荷载的精确特解求得，因此内力图沿杆件是精确的。

坐标转换矩阵 ​

单元坐标转换矩阵 T\mathbf{T} 用于将局部刚度矩阵转换到整体坐标系。

T=(cos⁡(α)sin⁡(α)0000−sin⁡(α)cos⁡(α)0000001000000cos⁡(α)sin⁡(α)0000−sin⁡(α)cos⁡(α)0000001)\mathbf{T} = \begin{pmatrix} \cos(\alpha) & \sin(\alpha) & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -\sin(\alpha) & \cos(\alpha) & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cos(\alpha) & \sin(\alpha) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -\sin(\alpha) & \cos(\alpha) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

整体刚度矩阵 ​

整体刚度矩阵 Kg\mathbf{K_g} 由单元坐标转换矩阵 T\mathbf{T} 与局部刚度矩阵 Kl\mathbf{K_l} 相乘得到：

Kg=TT⋅Kl⋅T\mathbf{K_g} = \mathbf{T}^\mathsf{T} \cdot \mathbf{K_l} \cdot \mathbf{T}