EduBeam

桁架单元 ​

桁架单元只承受轴力。EduBeam 中没有单独的桁架单元类型：桁架杆就是勾选了两端端部铰接的梁单元，弯曲项被凝聚掉，只留下下面的轴向刚度。

LEA
二维桁架单元示意图

自由度 ​

二维桁架单元在每个节点有两个自由度：

  • 平动 (Dx)： 沿 X 轴的位移。
  • 平动 (Dz)： 沿 Z 轴的位移。

局部刚度矩阵 ​

桁架单元的局部刚度矩阵为：

Kl=(EAL0−EAL00000−EAL0EAL00000)\mathbf{K_l} = \begin{pmatrix} \dfrac{EA}{L} & 0 & -\dfrac{EA}{L} & 0 \\[2ex] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1ex] -\dfrac{EA}{L} & 0 & \dfrac{EA}{L} & 0 \\[2ex] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

其中：

  • EE 为材料的杨氏模量
  • AA 为杆件的截面面积
  • LL 为杆件的长度

坐标转换矩阵 ​

单元坐标转换矩阵 T\mathbf{T} 用于将局部刚度矩阵转换到整体坐标系。

T=(cos⁡(α)sin⁡(α)00−sin⁡(α)cos⁡(α)0000cos⁡(α)sin⁡(α)00−sin⁡(α)cos⁡(α))\mathbf{T} = \begin{pmatrix} \cos(\alpha) & \sin(\alpha) & 0 & 0 \\ -\sin(\alpha) & \cos(\alpha) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cos(\alpha) & \sin(\alpha) \\ 0 & 0 & -\sin(\alpha) & \cos(\alpha) \end{pmatrix}

整体刚度矩阵 ​

整体刚度矩阵 Kg\mathbf{K_g} 由单元坐标转换矩阵 T\mathbf{T} 与局部刚度矩阵 Kl\mathbf{K_l} 相乘得到：

Kg=TT⋅Kl⋅T\mathbf{K_g} = \mathbf{T}^\mathsf{T} \cdot \mathbf{K_l} \cdot \mathbf{T}

相乘的结果为：

Kg=EAl[c2cs−c2−cscss2−cs−s2−c2−csc2cs−cs−s2css2];    c=cos⁡(α)s=sin⁡(α)\mathbf{K_g}={ {EA}\over{l}}\left[\begin{array}{cccc} c^2&cs&-c^2&-cs\\ cs&s^2&-cs& -s^2\\ -c^2&-cs&c^2&cs\\ -cs&-s^2&cs&s^2 \end{array}\right];\;\;\begin{array}{c}c=\cos(\alpha)\\s=\sin(\alpha)\end{array}