परिणामों की हाथ से जाँच

EduBeam वह आदत डालने के लिए अच्छी जगह है जिसकी हर इंजीनियर को ज़रूरत होती है: किसी ऐसी संख्या पर कभी भरोसा न करें जिसे आप मोटे तौर पर दोबारा न निकाल सकें। यह पृष्ठ क्लासिक स्थितियों के लिए बंद-रूप (closed-form) सूत्र देता है और दिखाता है कि ऐप उनके लिए क्या रिपोर्ट करता है, ताकि आप हर मॉडल स्वयं बनाकर तुलना कर सकें।

हाथ की जाँच वाले पूर्ण हल किए गए उदाहरणों के लिए त्रि-हिंज फ्रेम और समतल ट्रस ट्यूटोरियल देखें।

जब तक अन्यथा न कहा जाए, सभी स्थितियाँ एक ही इस्पात अनुप्रस्थ काट का उपयोग करती हैं: $E = 210\,000$ MPa, $G = 81\,000$ MPa, $A = 28.5$ cm², $I_y = 1943$ cm⁴, $h = 200$ mm, $k = 1$ (एक IPE 200)।

$EI = 210 \times 10^9 \cdot 1.943 \times 10^{-5} = 4.080 \times 10^6\ \text{Nm}^2$

संख्याएँ थोड़ी भिन्न क्यों होती हैं

EduBeam Timoshenko बीम का उपयोग करता है, जो क्लासिक Euler–Bernoulli बंकन विक्षेप में एक अपरूपण विक्षेप $\Delta w_s$ जोड़ते हैं। स्थैतिकतः निर्धार्य (statically determinate) स्थितियों में घूर्णन, प्रतिक्रियाएँ और आंतरिक बल अप्रभावित रहते हैं। पतले सदस्यों के लिए अतिरिक्त पद बहुत छोटा होता है; नीचे की तालिकाएँ इसे स्पष्ट रूप से दिखाती हैं।

सरल आलंबित बीम, समान भार

$L = 6$ m, $q = 12$ kN/m। आधार: नोड 1 Dx + Dz, नोड 2 Dz।

राशि	सूत्र	मान	EduBeam
प्रतिक्रियाएँ	$qL/2$	36 kN	36 kN
$V_{max}$	$qL/2$	36 kN	36 kN
$M_{max}$ (मध्य-स्पैन)	$qL^2/8$	54 kNm	54 kNm
सिरे का घूर्णन	$qL^3/(24EI)$	0.02647 rad	0.02647 rad
मध्य-स्पैन विक्षेप (बंकन)	$5qL^4/(384EI)$	49.63 mm	—
मध्य-स्पैन विक्षेप (अपरूपण)	$qL^2/(8kGA)$	0.23 mm	—
मध्य-स्पैन विक्षेप (कुल)	योग	49.86 mm	49.86 mm

मध्य-स्पैन विक्षेप पढ़ने के लिए Add node (माउस) → Connect to structure से मध्य-स्पैन पर एक नोड जोड़ें; अवयव को विभाजित करने से कोई परिणाम नहीं बदलता।

कैंटिलीवर, सिरे पर भार

$L = 4$ m, मुक्त सिरे पर नीचे की ओर $F = 18$ kN। आधार: नोड 1 Dx + Dz + Ry।

राशि	सूत्र	मान	EduBeam
ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया	$F$	18 kN	18 kN
जड़ित सिरे का आघूर्ण	$FL$	72 kNm	72 kNm
सिरे का घूर्णन	$FL^2/(2EI)$	0.03529 rad	0.03529 rad
सिरे का विक्षेप (बंकन)	$FL^3/(3EI)$	94.11 mm	—
सिरे का विक्षेप (अपरूपण)	$FL/(kGA)$	0.31 mm	—
सिरे का विक्षेप (कुल)	योग	94.42 mm	94.42 mm

यहाँ अपरूपण पद 0.3 % है। कैंटिलीवर को 1 m तक छोटा करें तो यह 5 % हो जाता है—अपरूपण गुणांक इसी के लिए है।

दोनों सिरों पर जड़ित बीम, समान भार

$L = 6$ m, $q = 12$ kN/m। दोनों नोड Dx + Dz + Ry।

राशि	सूत्र	मान
प्रतिक्रियाएँ	$qL/2$	36 kN
आधार आघूर्ण	$qL^2/12$	36 kNm (होगिंग)
मध्य-स्पैन आघूर्ण	$qL^2/24$	18 kNm (सैगिंग)
मध्य-स्पैन विक्षेप	$qL^4/(384EI) + qL^2/(8kGA)$	9.93 + 0.23 = 10.16 mm

इसे सरल आलंबित स्थिति से दोनों नोडों पर Ry टिक करके बनाएँ और आघूर्ण आरेख को खिसकते देखें।

प्रॉप्ड कैंटिलीवर, समान भार

$L = 6$ m, $q = 12$ kN/m। नोड 1 Dx + Dz + Ry, नोड 2 Dz।

राशि	सूत्र	मान
जड़ित सिरे पर प्रतिक्रिया	$5qL/8$	45 kN
रोलर पर प्रतिक्रिया	$3qL/8$	27 kN
जड़ित सिरे का आघूर्ण	$qL^2/8$	54 kNm (होगिंग)
अधिकतम सैगिंग आघूर्ण	जड़ित सिरे से $x = 5L/8$ पर $9qL^2/128$	3.75 m पर 30.4 kNm

ऐप स्थानीय चरम मान पर स्वतः लेबल लगाता है, इसलिए आप मान और (अवयव के साथ उसकी स्थिति से) वह कहाँ होता है, दोनों पढ़ सकते हैं।

दो-छड़ ट्रस

(0, 0) और (4, 0) पर कीलकित आधारों से निकलकर (2, −2) पर मिलने वाली दो छड़ें (शिखर 2 m ऊपर), दोनों छड़ों पर दोनों सिरे के हिंज (end hinges) टिक किए हुए, शिखर पर ऊर्ध्वाधर भार $F = 20$ kN (नीचे की ओर, अर्थात Fz = 20)।

हर छड़ 45° पर है, लंबाई $L = 2\sqrt{2}$ m। सममिति से हर छड़ वहन करती है

$N = -\frac{F}{2 \sin 45^\circ} = -14.14\ \text{kN (compression)}$

अर्थात संपीड़न, और हर आधार ऊर्ध्वाधर रूप से 10 kN और क्षैतिज रूप से ±10 kN लेता है। N (x) ओवरले और प्रतिक्रियाएँ जाँचें।

सरल आलंबित बीम पर तापमान प्रवणता

$L = 8$ m, $\Delta T_b - \Delta T_t = -10$ K (ऊपरी भाग अधिक गर्म), $\alpha = 12 \times 10^{-6}$, $h = 0.2$ m।

बीम मुड़ने के लिए स्वतंत्र है, इसलिए कोई आंतरिक बल नहीं होते; वक्रता (curvature) है

$\kappa = \frac{\alpha\,(\Delta T_b - \Delta T_t)}{h} = \frac{12 \times 10^{-6} \cdot (-10)}{0.2} = -6 \times 10^{-4}\ \text{m}^{-1}$

और मध्य-स्पैन विक्षेप $\kappa L^2 / 8 = -4.8$ mm (ऊपर की ओर) है। अब दोनों सिरों पर Ry अवरुद्ध करें: वक्रता रुक जाती है और पूरे स्पैन में एक स्थिर आघूर्ण $M = EI\kappa = 2.45$ kNm प्रकट होता है।

निर्धारित विस्थापन

प्रॉप्ड कैंटिलीवर को बिना भार के लें और रोलर पर Dz = 10 mm निर्धारित करें (एक निपात / settlement)। कैंटिलीवर के सिरे को $w$ से नीचे धकेलने के लिए आवश्यक प्रतिक्रिया $R = 3EIw/L^3 = 0.567$ kN है और जड़ित सिरे का आघूर्ण $RL = 3.40$ kNm है। समान भार वापस जोड़ें, तो परिणाम रैखिक रूप से अध्यारोपित (superpose) होते हैं।

अपनी जाँच के लिए सुझाव

• इकाइयों की चिप को नज़र में रखें; ज़्यादातर विसंगतियाँ इकाइयों की गलतियाँ होती हैं।
• प्रत्यक्ष कठोरता विधि (direct stiffness method) सीखते समय किसी एक अवयव की सैद्धांतिक मैनुअल से तुलना करने के लिए Stiffness matrix विंडो का उपयोग करें।
• सटीक संख्याएँ आरेख के लेबलों से नहीं, जो पूर्णांकित होते हैं, बल्कि Results टैब और होवर टूलटिप से पढ़ें। Results टैब में Export CSV या Copy आपको प्रतिक्रियाएँ भी देता है, स्प्रेडशीट के लिए तैयार।
• 4 · 10¹ के बजाय 40 पढ़ने के लिए Settings में Number format को Automatic पर सेट करें।
• जाँचा हुआ मॉडल किसी सहकर्मी या शिक्षक को देने के लिए Share model का उपयोग करें।