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बीम अवयव ​

EduBeam में एकमात्र अवयव x–z समतल में दो नोडों वाला Timoshenko बीम है। क्लासिक Euler–Bernoulli बीम की तुलना में यह अपरूपण विरूपण जोड़ता है, जो गहरे या छोटे सदस्यों के लिए मायने रखता है और पतले सदस्यों के लिए लुप्त हो जाता है। चिह्न परिपाटी का सारांश परिपाटी पृष्ठ पर है।

LEA
2D Timoshenko बीम का योजनाचित्र

स्वातंत्र्य-कोटियाँ ​

2D Timoshenko बीम, जिसके हर नोड पर तीन स्वातंत्र्य-कोटियाँ (DOFs) हैं:

  • स्थानांतरण (Dx): X-अक्ष के अनुदिश विस्थापन।
  • स्थानांतरण (Dz): Z-अक्ष के अनुदिश विस्थापन।
  • घूर्णन (Ry): Y-अक्ष के परितः घूर्णन।

भार DOFs की दिशा में निर्दिष्ट किए जाते हैं:

  • क्षैतिज बल (Fx): X-अक्ष के अनुदिश लगाया गया बल।
  • ऊर्ध्वाधर बल (Fz): Z-अक्ष के अनुदिश लगाया गया बल।
  • आघूर्ण (My): Y-अक्ष के परितः लगाया गया आघूर्ण।

स्थानीय कठोरता मैट्रिक्स ​

स्थानीय निर्देशांकों में बीम कठोरता मैट्रिक्स इस प्रकार है:

Kl=(EAL00−EAL00012EIyL3(1+φ)−6EIyL2(1+φ)0−12EIyL3(1+φ)−6EIyL2(1+φ)0−6EIyL2(1+φ)(4+φ)EIyL(1+φ)06EIyL2(1+φ)(2−φ)EIyL(1+φ)−EAL00EAL000−12EIyL3(1+φ)6EIyL2(1+φ)012EIyL3(1+φ)6EIyL2(1+φ)0−6EIyL2(1+φ)(2−φ)EIyL(1+φ)06EIyL2(1+φ)(4+φ)EIyL(1+φ))\mathbf{K_l} = \begin{pmatrix} \dfrac{EA}{L} & 0 & 0 & -\dfrac{EA}{L} & 0 & 0 & \\[2ex] 0 & \dfrac{12 EI_y}{ L^3 (1+\varphi)} & \dfrac{-6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & 0 & \dfrac{-12 EI_y}{L^3 (1+\varphi)} & \dfrac{-6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} &\\[3ex] 0 & \dfrac{-6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & \dfrac{(4 + \varphi) EI_y}{L (1+\varphi)} & 0 & \dfrac{6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & \dfrac{(2 - \varphi) EI_y}{L (1+\varphi)} &\\[2ex] -\dfrac{EA}{L} & 0 & 0 & \dfrac{EA}{L} & 0 & 0 &\\[2ex] 0 & \dfrac{-12 EI_y}{L^3 (1+\varphi)} & \dfrac{6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & 0 & \dfrac{12 EI_y}{ L^3 (1+\varphi)} & \dfrac{6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} &\\[3ex] 0 & \dfrac{-6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & \dfrac{(2 - \varphi) EI_y}{L (1+\varphi)} & 0 & \dfrac{6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & \dfrac{(4 + \varphi) EI_y}{L (1+\varphi)} \end{pmatrix}

जहाँ:

  • EE सामग्री का प्रत्यास्थता मापांक (Young's modulus) है
  • AA बीम का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल है
  • LL बीम की लंबाई है
  • IyI_y y-अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण (second moment of area) है
  • φ\varphi विमाहीन अपरूपण-लचीलापन प्राचल (shear-flexibility parameter) है

φ=12 EIyk G A L2\varphi = \frac{12\,E I_y}{k\,G\,A\,L^2}

जहाँ GG अपरूपण मापांक है और kk अनुप्रस्थ काट का अपरूपण संशोधन गुणांक (प्रभावी अपरूपण क्षेत्रफल kAkA)। φ→0\varphi \to 0 के लिए (पतला बीम, या बहुत बड़ा kk) मैट्रिक्स Euler–Bernoulli बीम कठोरता में बदल जाता है।

सिरे के हिंज ​

अवयव के सिरे पर हिंज संबंधित घूर्णी DOF को मुक्त करता है: घूर्णन को 6 × 6 मैट्रिक्स से संघनित करके हटा दिया जाता है (स्थैतिक संघनन / static condensation, उस सिरे पर M=0M = 0) और अवयव को शेष DOFs के साथ असेंबल किया जाता है। दोनों सिरे मुक्त होने पर केवल अक्षीय पद बचते हैं और अवयव एक ट्रस छड़ की तरह व्यवहार करता है।

अवयव भार ​

वितरित, संकेंद्रित और तापीय भारों को समतुल्य नोडल भारों feq\mathbf{f}_{eq} (फिक्स्ड-सिरा बलों / fixed-end forces का ऋणात्मक) में परिवर्तित करके वैश्विक भार सदिश में जोड़ा जाता है। हल के बाद, अवयव के साथ आंतरिक बल सिरों के विस्थापनों और अवयव भार के सटीक विशेष हल (particular solution) से पुनः प्राप्त किए जाते हैं, इसलिए आरेख सदस्य के साथ-साथ सटीक होते हैं।

रूपांतरण मैट्रिक्स ​

अवयव रूपांतरण मैट्रिक्स (transformation matrix) T\mathbf{T} का उपयोग स्थानीय कठोरता मैट्रिक्स को वैश्विक निर्देशांक तंत्र में रूपांतरित करने के लिए किया जाता है।

T=(cos⁡(α)sin⁡(α)0000−sin⁡(α)cos⁡(α)0000001000000cos⁡(α)sin⁡(α)0000−sin⁡(α)cos⁡(α)0000001)\mathbf{T} = \begin{pmatrix} \cos(\alpha) & \sin(\alpha) & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -\sin(\alpha) & \cos(\alpha) & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cos(\alpha) & \sin(\alpha) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -\sin(\alpha) & \cos(\alpha) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

वैश्विक कठोरता मैट्रिक्स ​

वैश्विक कठोरता मैट्रिक्स Kg\mathbf{K_g} अवयव रूपांतरण मैट्रिक्स T\mathbf{T} को स्थानीय कठोरता मैट्रिक्स Kl\mathbf{K_l} से गुणा करके प्राप्त होता है:

Kg=TT⋅Kl⋅T\mathbf{K_g} = \mathbf{T}^\mathsf{T} \cdot \mathbf{K_l} \cdot \mathbf{T}