Návod: rovinná příhradová konstrukce

V tomto návodu sestavíte malou staticky určitou příhradovou konstrukci, ověříte síly v prutech metodou styčných bodů a průsečnou metodou a najdete nulový prut. Počítejte asi s 15 minutami.

Hotová příhradová konstrukce: normálové síly a reakce

Chcete si model jen prohlédnout? Otevřete hotový model.

Zadání

Geometrie, podpory a zatížení

• Rozpětí 12 m rozdělené na tři pole po 4 m, výška 3 m.
• Uzly dolního pásu 1–4, uzly horního pásu 5 a 6.
• Pevný kloub v uzlu 1, posuvný kloub v uzlu 4.
• Dvě síly po 30 kN v uzlech 2 a 3 dolního pásu.
• Ocelové pruty o ploše $A = 20$ cm².

Uzel	X [m]	Z [m]	Podpora	Zatížení
1	0	0	kloub
2	4	0		Fz = 30 kN
3	8	0		Fz = 30 kN
4	12	0	posuvný kloub
5	4	−3
6	8	−3

Pruty: dolní pás 1–2, 2–3, 3–4; horní pás 5–6; krajní diagonály 1–5 a 6–4; svislice 2–5 a 3–6; prostřední diagonála 5–3.

Je konstrukce staticky určitá? Při $j = 6$ styčnících platí $m + r = 9 + 3 = 12 = 2j$, takže ano: síly v prutech plynou jen z podmínek rovnováhy.

1. Materiál a průřez

1. Smazat konstrukci (zaškrtněte Smazat materiály a Smazat průřezy).
2. Materiály → Knihovna materiálů → Steel (S235).
3. Průřezy → Přidat průřez: Plocha = 0,002, Iy = 1e-6, Výška = 0,1, Smykový součinitel = 1. U prutů s klouby na obou koncích záleží jen na ploše.

2. Nakreslete pruty s klouby

Příhradový prut je v EduBeamu nosníkový prvek se zaškrtnutými oběma koncovými klouby. Nástroj pro kreslení myší je nastaví za vás:

1. Záložka Prvky → druhé tlačítko Přidat prvek (ikona kurzoru).
2. V liště v horní části zobrazení zaškrtněte Kloub na začátku a Kloub na konci. Každý nově nakreslený prut bude mít oba klouby.
3. Obrys nakreslete jako jednu lomenou čáru: klikněte do bodů (0, 0), (4, −3), (8, −3), (12, 0) a pak zpět po dolním pásu: (8, 0), (4, 0), (0, 0). Stiskněte Esc.
4. Vnitřní pruty kreslete po jednom a po každém stiskněte Esc: (4, 0) → (4, −3), (4, −3) → (8, 0), (8, 0) → (8, −3).
5. Klávesou F přizpůsobíte zobrazení.

Zkontrolujte tabulku Prvky: musí v ní být devět prvků, všechny se zaškrtnutými oběma Koncovými klouby. Čísla uzlů a prvků se mohou od obrázků lišit, na tom nezáleží.

3. Podpory a zatížení

1. Klikněte na uzel v (0, 0) → Podepření uzlu → Kloub. Pak klikněte na uzel v (12, 0) → Posuvný kloub.
2. Klikněte na uzel v (4, 0) → Přidat zatížení → Fz = 30 kN. Totéž zopakujte v (8, 0).

Kladné Fz míří dolů. Styčníky příhradové konstrukce se mohou volně pootáčet. EduBeam proto uzly, ve kterých jsou všechny pruty připojené kloubově, přijme a jejich pootočení vypíše jako 0.

4. Výsledky

V možnostech zobrazení vypněte Deformovaný tvar a M_y (x) (v příhradové konstrukci ohyb nevzniká) a zaškrtněte N (x).

Normálové síly: tah kladný

5. Ověřte ručně

Reakce. Zatížení je symetrické, takže $R_1 = R_4 = 30$ kN (vzhůru) a vodorovná reakce v pevném kloubu je nulová.

Styčník 1 (metoda styčných bodů). Krajní diagonála 1–5 má délku 5 m ($\sin\alpha = 3/5$, $\cos\alpha = 4/5$):

$\sum F_z:\ N_{15} \cdot \tfrac{3}{5} = -30 \Rightarrow N_{15} = -50\ \text{kN} \qquad \sum F_x:\ N_{12} = -N_{15} \cdot \tfrac{4}{5} = 40\ \text{kN}$

Styčník 2. Zatížení 30 kN může nahoru přenést jedině svislice 2–5: $N_{25} = +30$ kN a $N_{23} = N_{12} = 40$ kN.

Řez prostředním polem. Veďte řez pruty 5–6, 5–3 a 2–3 a uvažujte levou část:

• Momentová podmínka k uzlu 3: $R_1 \cdot 8 - 30 \cdot 4 + N_{56} \cdot 3 = 0 \Rightarrow N_{56} = -40$ kN.
• Svislé síly: posouvající síla v poli je $R_1 - 30 = 0$, takže diagonála 5–3 je nulový prut: $N_{53} = 0$.

Prut	Ručně	EduBeam
Dolní pás 1–2, 2–3, 3–4	+40 kN (tah)	40
Horní pás 5–6	−40 kN (tlak)	−40
Krajní diagonály 1–5, 6–4	−50 kN	−50
Svislice 2–5, 3–6	+30 kN	30
Prostřední diagonála 5–3	0	0

Průhyb uzlu 2 je 2,29 mm (Výsledky → Výsledky v uzlech). Jako cvičení ho spočítejte principem virtuálních prací, $\delta = \sum N n L / (EA)$.

6. Experimentujte

• Přesuňte jednu sílu. Umístěte obě síly 30 kN do uzlu 2. Prostřední diagonála teď přenáší sílu: s jakým znaménkem a proč?
• Odstraňte prostřední diagonálu. Z příhradové konstrukce se stane mechanismus; EduBeam zakroužkuje klouby, které ho způsobují, a ukáže, jak se pole zkosí.
• Zrušte všechny klouby. Z příhradové konstrukce se stane rám s tuhými styčníky. Zaškrtněte M_y (x): ohybové momenty jsou ve srovnání s normálovými silami nepatrné, a proto idealizace kloubových styčníků funguje.
• Dejte do obou podpor pevný kloub. Jedna reakce navíc udělá z konstrukce staticky neurčitou a síly v dolním pásu pak závisejí na plochách prutů.