Návod: trojkloubový rám

Trojkloubový rám je staticky určitý: ze tří podmínek rovnováhy a podmínky $M = 0$ v kloubu získáte všechny čtyři složky reakcí. Proto se skvěle hodí k ověření každého čísla, které EduBeam vykreslí. Počítejte asi s 15 minutami.

Hotový rám: ohybový moment a reakce

Chcete si model jen prohlédnout? Otevřete hotový model.

Zadání

• Dva sloupy o výšce 4 m s kloubovými patkami v bodech A a E, vzdálené od sebe 8 m.
• Nahoře vodorovná příčel B–D s kloubem uprostřed rozpětí v bodě C.
• Spojité rovnoměrné zatížení $q = 10$ kN/m po celé délce příčle.
• Ocel ($E = 210$ GPa, $G = 81$ GPa), IPE 300 ($A = 53{,}8$ cm², $I_y = 8356$ cm⁴, $h = 300$ mm).

Uzel	X [m]	Z [m]	Podpora
A	0	0	kloub
B	0	−4
C	4	−4	(kloub v příčli)
D	8	−4
E	8	0	kloub

Pamatujte, že osa z míří dolů, takže hlavy sloupů leží v Z = −4.

1. Materiál a průřez

1. Smazat konstrukci (zaškrtněte Smazat materiály a Smazat průřezy).
2. Materiály → Knihovna materiálů → Steel (S235).
3. Průřezy → Přidat průřez: Plocha = 0,00538, Iy = 8,356e-5, Výška = 0,3, Smykový součinitel = 1.

Průřez ovlivňuje jen posunutí. Rám je staticky určitý, takže jeho vnitřní síly na $E$, $A$ ani $I$ vůbec nezávisejí.

2. Nakreslete rám

Nejrychleji rám nakreslíte myší jako jednu lomenou čáru:

1. Ověřte, že je zapnuté Přichytávat k mřížce (přepínač S).
2. Záložka Prvky → druhé tlačítko Přidat prvek (ikona kurzoru).
3. Klikněte postupně do bodů (0, 0), (0, −4), (4, −4), (8, −4) a (8, 0). Polohu vám pomohou najít pravítka a zaměřovací kříž. Každé kliknutí přidá uzel a spojí ho s předchozím.
4. Klávesou Esc kreslení ukončíte a klávesou F přizpůsobíte zobrazení rámu.

Teď máte pět uzlů a čtyři prvky. Na obrázcích jsou uzly označené A–E; své uzly můžete v tabulce Uzly přejmenovat, nebo jim nechat čísla 1–5. V tabulce zkontrolujte souřadnice a opravte ty, které se nepřichytily k mřížce.

3. Podpory a kloub

1. Klikněte na uzel A, otevřete Podepření uzlu a vyberte Kloub. Totéž zopakujte u uzlu E.
2. V tabulce Prvky najděte prvek z B do C a zaškrtněte u něj kloub na konci (druhé políčko ve sloupci Koncové klouby).

Tabulka Prvky: kloub je na konci prvku 2, v uzlu C

Jeden kloub, ne dva

Stačí kloub na konci prvku B–C: moment v C je pak nulový, protože C–D nemůže přenést moment do uzlu, který drží tuze jen on sám. Když zaškrtnete i začátek C–D, nic se nezmění. Když ale zaškrtnete kloub i v B, z rámu se stane mechanismus. Vyzkoušejte si to: EduBeam ukáže, jak se pohybuje.

4. Zatížení

Zatížení → Přidat prvkové zatížení → Spojité rovnoměrné zatížení, prvek B–C, fz = 10 kN/m. Totéž zopakujte pro prvek C–D. Příčel je vodorovná, takže na políčku LCS tu nezáleží.

5. Výsledky

V možnostech zobrazení jsou na začátku zapnuté deformovaný tvar, ohybový moment a reakce. Zbylé průběhy zobrazíte zaškrtnutím N (x) a V_z (x).

Ohybový moment a reakce

Normálová síla

Posouvající síla

Deformovaný tvar

6. Ověřte ručně

Svislé reakce. Ze symetrie připadá na každou patku polovina zatížení:

$V_A = V_E = \frac{q \cdot 8}{2} = 40\ \text{kN}$

Vodorovné reakce. Napište momentovou podmínku ke kloubu C pro levou polovinu rámu. Moment v kloubu musí být nulový:

$V_A \cdot 4 - H_A \cdot 4 - q \cdot 4 \cdot 2 = 0 \quad\Rightarrow\quad H_A = \frac{160 - 80}{4} = 20\ \text{kN}$

Vodorovné reakce v obou patkách míří dovnitř a mají velikost 20 kN. Právě díky tomuto rozpěru je trojkloubový rám tak účinný.

Vnitřní síly.

Veličina	Vzorec	Ručně	EduBeam
Svislé reakce	$qL/2$	40 kN	40 kN
Vodorovné reakce	z $M_C = 0$	20 kN	20 kN
Moment v rozích B a D	$H \cdot h$	80 kNm, tah na vnější straně	−80 kNm
Moment v kloubu C		0	0
Normálová síla ve sloupech	$-V_A$	−40 kN	−40 kN
Normálová síla v příčli	$-H_A$	−20 kN	−20 kN
Posouvající síla ve sloupech	$H_A$	20 kN	−20 kN (A–B), +20 kN (D–E)
Posouvající síla v příčli v B	$V_A$	40 kN	40 kN
Posouvající síla v příčli v C	$V_A - 4q$	0	0
Posouvající síla v příčli v D	$V_A - 8q$	−40 kN	−40 kN

Oba sloupy mají opačné znaménko posouvající síly, přestože přenášejí stejnou sílu. Lokální osy každého prvku totiž sledují jeho směr: A–B je nakreslený nahoru, D–E dolů. Prohoďte uzly jednoho sloupu a znaménko se obrátí.

V příčli platí $M(x) = -80 + 40x - 5x^2$ kNm (x měřeno od B). Moment je v kloubu nulový a nikde není kladný: celá příčel je namáhána záporným momentem (tah nahoře). Posouvající síla $V(x) = 40 - 10x$ klesne na nulu přesně v C, takže i extrém momentu leží v kloubu.

Posunutí. Kloub C poklesne o 43,1 mm (Výsledky → Výsledky v uzlech, Dz uzlu C). Podílí se na něm ohyb všech čtyř prutů – dobré cvičení na princip virtuálních prací.

7. Experimentujte

• Zrušte kloub v C. Rám bude jednou staticky neurčitý; momenty v rozích klesnou a uprostřed rozpětí se objeví kladný moment. Teď už na průřezu záleží: zkuste tužší příčel.
• Vetkněte patky (vyberte podporu Vetknutí). V A a E vzniknou momenty.
• Přidejte vodorovné zatížení: uzlové zatížení Fx = 10 kN v B. Rám se vodorovně posune a reakce přestanou být symetrické. Ověřte je stejnými třemi rovnicemi a podmínkou $M_C = 0$.
• Zaškrtněte kloub i v B. Z rámu se stane mechanismus a EduBeam animací ukáže, jak se může pohybovat.